Question

[Đỗ Đức Thắng]

cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, CB. Chứng minh rằng tam giác MEF là tam giác đều.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Ta có

\(\widehat{AMC}=\widehat{BMD}=60^o\) (góc trong tam giác đều)

\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\) (cùng bù với \(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\) ) 

Xét tg AMD và tg CMB có

AM=CM (cạnh tg đều)

DM=BM (cạnh tg đều)

\(\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\) (cmt)

=> tg AMD = tg CMB (c.g.c) => AD=BC

\(\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{CBM};\widehat{DAM}=\widehat{BCM}\)

Ta có

\(AE=DE=\dfrac{AD}{2}\)

\(BF=CF=\dfrac{BC}{2}\)

Mà AD=BC (cmt)

=> DE=BF=CF=AE

Xét tg MDE và tg MBF có

DE=BF (cmt)

\(\widehat{ADM}=\widehat{CBM}\) (cmt)

MD=MB (cạnh tg đều)

=> tg MDE = tg MBF (c.g.c) => ME=MF (1)

\(\Rightarrow\widehat{DME}=\widehat{BMF}\)

Ta có

\(\widehat{DMF}+\widehat{BMF}=\widehat{BMD}=60^o\)

Mà \(\widehat{DME}=\widehat{BMF}\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{DMF}+\widehat{DME}=\widehat{EMF}=60^o\)

Ta có

ME=MF (cmt) => tg MEF cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MEF}=\widehat{MFE}=\dfrac{180^o-\widehat{EMF}}{2}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EMF}=\widehat{MEF}=\widehat{MFE}\) => tg MEF là tg đều

Answer 2

[Tân Thị Thúy Nhi]

ΔAMC đều nên góc AMC=60 , AM=CM

ΔBMD đều nên góc BMD=60 , MD=MB\(\)

Góc AMD=AMC+CMD=60độ + Góc CMD (1)

Góc CMB=BMD+CMD=60độ + góc CMD (2)

Từ (1),(2)⇒ góc AMD=góc CMB

Xét ΔAMD và ΔCMB có :

AM=CM(cmt)

góc AMD=góc CMB(cmt)

MD=MB(cmt)

⇒ΔAMD=ΔCMB(c-g-c)

⇒AD=CB(hai cạnh tương ứng)

⇒gócDAM=góc BCM(hai góc tương ứng)

Xét ΔAEM và ΔCFM có:

AM=CM(cmt)

góc DAM=góc BCM(cmt)

AE=CF(\(\dfrac{AD}{2}=\dfrac{CB}{2}\))

⇒ΔAEM=ΔCFM(c-g-c)

⇒EM=FM(hai cạnh tương ứng)

⇒góc AME= góc CMF(hai góc tương ứng)

⇒góc AMC+góc CME=góc CME+góc EMF

⇒góc AMC= góc EMF

⇒góc EMF=60độ

⇒Xét ΔEMF có:EM=FM(cmt) ; góc EMF= 60(cmt)

⇒ΔMEF là Δ đều.