Cho đường tròn (O,R) và điểm K nằm ngoài đường tròn . Từ K vẽ 2 tiếp tuyến KA, KB, qua K kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại 2 điểm E và D sao cho KD<KE và A, O nằm khác phía so với đường thẳng EK
Gọi H là giao điểm của OK và AB. Vẽ đường kính AI của đường tròn (O), các tia ID IE cắt tia KO lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng góc DHE= góc DOE và...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O,R) và điểm K nằm ngoài đường tròn . Từ K vẽ 2 tiếp tuyến KA, KB, qua K kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại 2 điểm E và D sao cho KD<KE và A, O nằm khác phía so với đường thẳng EK
Gọi H là giao điểm của OK và AB. Vẽ đường kính AI của đường tròn (O), các tia ID IE cắt tia KO lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng góc DHE= góc DOE và OM=ON
Xét tg KAD và tg KEA có
\(\widehat{AKE}\) chung
\(sđ\widehat{KAD}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AD (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(sđ\widehat{KEA}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AD (góc nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{KAD}=\widehat{KEA}\)
=> tg KAD đồng dạng với tg KEA (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{KA}{KE}=\dfrac{KD}{KA}\Rightarrow KA^2=KD.KE\)
Xét tg vuông AKO có
\(KA^2=KH.KO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow KD.KE=KH.KO\Rightarrow\dfrac{KD}{KO}=\dfrac{KH}{KE}\)
Xét tg KDH và tg KOE có
\(\dfrac{KD}{KO}=\dfrac{KH}{KE}\)(cmt)
\(\widehat{EKO}\) chung
=> tg KHD đồng dạng với tg KOE (Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng)
\(\Rightarrow\widehat{DHK}=\widehat{OED}\)
Ta có
\(\widehat{DHK}+\widehat{DHO}=180^o\Rightarrow\widehat{OED}+\widehat{DHO}=180^o\)
=> tứ giác DEOH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối nhau = \(180^o\) là tứ giác nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{ODH}=\widehat{OEH}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung OH)
Xét tg DOE có
\(\widehat{DOE}=180^o-\widehat{ODE}-\widehat{OED}\)
Tam giác ODE có OD=OE=R => tg ODE cân tại O
\(\Rightarrow\widehat{ODE}=\widehat{OED}\)
\(\Rightarrow\widehat{DOE}=180^o-2\widehat{ODE}\) (1)
Xét tg DHE có
\(\widehat{DHE}=180^o-\widehat{EDH}-\widehat{DEH}=180^o-\left(\widehat{ODE}+\widehat{ODH}\right)-\left(\widehat{OED}-\widehat{OEH}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{DHE}=180^o-\widehat{ODE}-\widehat{ODH}-\widehat{OED}+\widehat{OEH}\)
Mà \(\widehat{ODE}=\widehat{OED};\widehat{ODH}-\widehat{OEH}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{DHE}=180^o-2\widehat{OED}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{DHH}=\widehat{DOE}\) (đpcm)