Tìm tất cả các số n sao cho các số sau là số nguyên tố:n+1
n+3
n+7
n+9
n+13
n+15
GHI RÕ CÁCH GIẢI
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TB
0
NV
1
26 tháng 11 2015
Nếu n>0 => 3n+9n+36 chia hết cho 3 là hợp số ( loại )
Nếu n=0 => 3n+9n+36 = 1+0+36 =37 là số nguyên tố (nhận)
Vậy n=0
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
8 tháng 1 2018
Trước hết, ta chứng minh rằng với mọi số n lớn hơn hoặc bằng 5, điều kiện của đề bài không thỏa mãn.
Thật vậy, với \(n\ge5\), ta có:
+ Nếu n = 5k thì n + 15 chia hết 5. Vậy n + 15 là hợp số.
+ Nếu n = 5k + 1 thì n + 9 chia hết cho 5. Vậy n + 9 là hợp số.
+ Nếu n = 5k + 2 thì n + 3 chia hết cho 5. Vậy n + 3 là hợp số.
+ Nếu n = 5k + 3 thì n + 7 chia hết cho 5. Vậy n + 7 là hợp số.
+ Nếu n = 5k + 4 thì n + 1 chia hết cho 5. Vậy n + 1 là hợp số.
Vậy n < 5.
Để n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 và n + 15 đều là số nguyên tố thì n phải là số chẵn. Vì nếu n là số lẻ thì các số trên là số chẵn lớn hơn 2, và là hợp số.
Vậy n = 2 hoặc n = 4.
Với n = 2, ta thấy ngay n + 7 = 2 + 7 = 9, là hợp số.
Với n = 4, ta có các số 5, 7, 11, 13, 17, 19 đều là số nguyên tố.
Vậy số cần tìm là n = 4.
12 tháng 2 2018
Thử n đến 3 không thỏa mãn
* n=4 thì các số là các số nguyên tố
*Xét n >4 thì các số đó đều lớn hơn 5
Xét các số dư khi chia n cho 5
+ Dư 1 thì n+ 9\(⋮\)5n+9\(⋮\)5
+Dư 2 thì n+13 \(⋮\)5n+13\(⋮\)5
+ Dư 3 thì n+7 \(⋮\)5n+7\(⋮\)5
+ Dư 4 thì n+1 \(⋮\)5n+1\(⋮\)5
+ Dư 0 thì n+15\(⋮\)5n+15\(⋮\)5
Không TM trường hợp nào cả
=>n = 4 là giá trị cần tìm
HP
1
L
7 tháng 8 2016
\(P=3n^3-7n^2+3n+6\)
\(=3n^3+2n^2-9n^2-6n+9n+6\)
\(=n^2\left(3n+2\right)-3n\left(3n+2\right)+3\left(3n+2\right)\)
\(=\left(3n+2\right)\left(n^2-3n+3\right)\)
để p là nguyên tố thì 3n+2 hoặc n2-3n+3 phải bằng 1 (nếu cả hai tích số đều lớn hơn 1 => p là hợp số, trái với đầu bài)
*3n+2=1=>n=-1/3
*n2-3n+3=1<=>n2-3n+2=0
\(\Leftrightarrow n^2-2\times\frac{3}{2}n+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(n-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{4}=\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\orbr{\begin{cases}n-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\\n-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=1\end{cases}}}\)
nếu n= 2 thì (3n+2)(n2-3n+3)=(3.2+2).1=8 (ko phải số nguyên tố nên ta loại)
vậy n=1
MN
2
NC
15 tháng 6 2021
Ta có:\(P=n^3-n^2+7n+10\)
\(=n^3-2n^2+n^2-2n-5n+10\)
\(=n^2\left(n-2\right)+n\left(n-2\right)-5\left(n-2\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)
Vì P là số nguyên tố nên
\(n-2=1\Rightarrow n=3\)(nhận)
\(n^2+n-5=1\)\(\Rightarrow n^2+n-6=0\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n-2\right)=0\Rightarrow n=-3\left(l\right);n=2\left(n\right)\)
Ta có:\(\hept{\begin{cases}n=3\Rightarrow P=7\left(n\right)\\n=2\Rightarrow P=0\left(l\right)\end{cases}}\)
Vậy n=3
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
15 tháng 6 2021
\(P=n^3-n^2-7n+10=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)
- Với \(n-2< 0\Leftrightarrow n< 2\).
Bằng cách thử trực tiếp \(n=0,n=1\)thu được \(n=1\)thỏa mãn \(P=3\)là số nguyên tố.
- Với \(n-2\ge0\)thì \(n-2\ge0,n^2+n-5>0\)khi đó \(P\)có hai ước tự nhiên là \(n-2,n^2+n-5\).
Để \(P\)là số nguyên tố thì:
\(\orbr{\begin{cases}n-2=1\\n^2+n-5=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=3\\n=2,n=-3\end{cases}}\)
Thử lại các giá trị trên thu được \(n=3\)thì \(P=7\)thỏa mãn.
Vậy \(n=1\)hoặc \(n=3\).
NT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2022
\(P=n^3+7n^2+25n+39=\left(n+3\right)\left(n^2+4n+13\right)\)
Hiển nhiên \(\left\{{}\begin{matrix}n+3>1\\n^2+4n+13>1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3=p^a\\n^2+4n+13=p^b\end{matrix}\right.\) với \(b>a>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3⋮p\\n^2+4n+13⋮p\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n^2+4n+13-\left(n+3\right)\left(n+1\right)⋮p\)
\(\Rightarrow10⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}p=2\\p=5\end{matrix}\right.\)
- TH1: \(p=2\Rightarrow n+3=2^a\)
Do n nguyên dương \(\Rightarrow n+3\ge4\Rightarrow a\ge2\Rightarrow2^a⋮4\)
\(\Rightarrow n+3⋮4\Rightarrow n=4k+1\)
Đồng thời \(n^2+4n+13=2^b\), hiển nhiên \(b>2\Rightarrow n^2+4n+13⋮4\)
\(\Rightarrow\left(4k+1\right)^2+4\left(4k+1\right)+13⋮4\)
\(\Rightarrow4k\left(4k+6\right)+18⋮4\) (vô lý)
\(\Rightarrow p=2\) không thỏa mãn
TH2: \(p=5\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3=5^a\\n^2+4n+13=5^b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+3\right)+10=5^b\)
\(\Rightarrow5^a\left(5^a-2\right)+10=5^b\)
\(\Rightarrow5^{a-1}\left(5^a-2\right)+2=5^{b-1}\)
- Với \(a=1\Rightarrow b=2\)
- Với \(a>1\Rightarrow\) vế trái chia 5 dư 2, vế phải chia hết cho 5
\(\Rightarrow\) Không tồn tại a;b nguyên thỏa mãn
Vậy \(a=1\Rightarrow n=5^1-3=2\)
Thử n đến 3 ko thỏa mãn!
*) n=4 thì đúng.
*) Xét n>4 thì các số đó đều lớn hơn 5.
Xét số dư khi chia n cho 5:
+) Dư 1 thì n+9 ⋮ 5
+) Dư 2 thì n+13 ⋮ 5
+) Dư 3 thì n+7 ⋮ 5
+) Dư 4 thì n+1 ⋮ 5
+) Dư 0 thì n+15⋮5
Ko thỏa mãn TH nào
Vậy n=4
thử n đến 3 ko thỏa mãn
*) n=4 thì đúng
*) Xét n>4 thì các số đó đều lớn hơn 5.
+) Dư 1 thì n+9 chia hết cho 5:
+) dư 2 thì n+13 chia hết cho 5
+) dư 3 thì n+7 chia hết cho 5
+) dư 4 thì n+1 chia hết cho 5
+) dư 0 thì n+15 chia hết cho 5
Vậy n = 4