P S Q A B Cho hình vẽ biết PA=PB,SA=SB,QA=QB. Chứng minh P,S,Q thẳng...
Đọc tiếp
Cho hình vẽ biết PA=PB,SA=SB,QA=QB. Chứng minh P,S,Q thẳng hàng
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
25 tháng 6 2018
\(A=\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\)
\(\Rightarrow A=\frac{a^2}{pab+qac}+\frac{b^2}{pbc+qab}+\frac{c^2}{pac+qbc}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{p\left(ab+bc+ca\right)+q\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{p+q}\)
25 tháng 6 2018
Ta đặt kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh là (1)
Ta thấy : \(a=\sqrt{\frac{a}{pb+qc}}\cdot\sqrt{a\left(pb+qc\right)}\)
\(b=\sqrt{\frac{b}{pc+qa}}\cdot\sqrt{b\left(pc+qa\right)}\)
\(c=\sqrt{\frac{c}{pa+qb}}\cdot\sqrt{c\left(pa+qb\right)}\)
Gọi vế trái của bất đẳng thức (1) là H
Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=\)(\(\sqrt{\frac{a}{pb+qc}}\cdot\sqrt{a\left(pb+qc\right)}\)+ \(\sqrt{\frac{b}{pc+qa}}\cdot\sqrt{b\left(pc+qa\right)}\)+ \(\sqrt{\frac{c}{pa+qb}}\cdot\sqrt{c\left(pa+qb\right)}\))2 \(\le\)\(\text{H}.\left[a\left(pb+qc\right)+b\left(pc+qa\right)+c\left(pa+qb\right)\right]\)
= \(\text{H}\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)\) (2)
Mặt khác : \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
bới : \(3\left(ab+bc+ca\right)=\left(ab+bc+ca\right)+2\left(ab+bc+ca\right)\)\(\le\)\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
Với kq trên từ (2) ta suy ra được : \(\left(a+b+c\right)^2\le\text{H}\left(p+q\right)\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\text{H}\ge\frac{3}{p+q}\left(\text{vì }a+b+c>0,p+q>0\right)\)
Vậy \(\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\ge\frac{3}{p+q}\left(đpcm\right)\)
10 tháng 7 2020
dcv_new
\(\Sigma\frac{a^2}{pab+qca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{p+q}\)
23 tháng 7 2020
2, ta có \(\sqrt{a}=\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}\)
vậy ta được \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}+\sqrt{\frac{b}{y}}\cdot\sqrt{y}+\sqrt{\frac{c}{z}}\cdot\sqrt{z}\right)^2\le\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\left(x+y+z\right)=S\)
dấu đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{x}:\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{y}:\sqrt{\frac{b}{y}}=\sqrt{z}:\sqrt{\frac{c}{z}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1\\\frac{x}{\sqrt{a}}=\frac{y}{\sqrt{b}}=\frac{z}{\sqrt{c}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
vậy min (x+y+z)=\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)
12 tháng 4 2017
Gọi h và h’ lần lượt là chiều cao hạ từ A, A’ đến mặt phẳng (SBC).
Gọi S1 và S2 theo thứ tự là diện tích các tam giác SBC và SB’C’.
Khi đó ta có h′h=SA′SAh′h=SA′SA và 12B′SC′.SB′.SC′12BSC.SB.SC=SB′SB.SC′SC12B′SC′.SB′.SC′12BSC.SB.SC=SB′SB.SC′SC
Suy ra VS.A′B′C′VS.ABC=VA′.SB′C′VA.SBC=13h′S213hS1=SA′SA⋅SB′SB⋅SC′SCVS.A′B′C′VS.ABC=VA′.SB′C′VA.SBC=13h′S213hS1=SA′SA⋅SB′SB⋅SC′SC
Đó là điều phải chứng minh.
CM
22 tháng 2 2017
a) Ta thấy:
+ G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G ∈ BD ⇒ G ∈ BD
+ I ∈ DN (theo cách dựng hình).
+ J ∈ BP (theo cách dựng hình).
⇒ S, I, J, G ∈ mp(SPN)
Tương tự ⇒ S, I, J, G ∈ mp(SQM)
Vậy S, I, J, G là điểm chung của mp(SPN) và mp(SQM)
b)
Ta thấy:
+ S = PD ∩ EM
+ K ∈ DM
+ L ∈ PE
⇒ S, K, L ∈ (SPM)
Tương tự ⇒ S, K, L ∈ (SQN)
Vậy S, K, L là điểm chung của (SPM) và (SQN)