Question

[Phan Lê Việt Hằng]

 nghiệm của x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 =0 

Answer 1

[Phạm Thành Đông]

\(x^4+x^3+2x^2+x+1=0\left(1\right)\)

Ta thấy \(x=0\)không là nghiệm của phương trình (1). Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \(x^2\ne0\), ta được:

\(x^2+x+2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)+2=0\)

Đặt \(x+\frac{1}{x}=a\)thì \(x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2\). Phương trình (2) trở thành:

\(\left(a^2-2\right)+a+2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2+a+2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+a=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\a+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\a=-1\end{cases}}\)

Với \(a=0\) thì: 

\(x+\frac{1}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{0}{x}\)

\(\Rightarrow x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1\)(vô nghiệm).

Với \(a=-1\)thì:

\(x+\frac{1}{x}=-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{-x}{x}\)

\(\Rightarrow x^2+1=-x\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{3}{4}\)(vô nghiệm).
Do đó phương trình (1) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Answer 2

[Nguyễn Huy Tú]

\(x^4+x^3+2x^2+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^3+x^2+x^2+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2+x+1\right)+x^2+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right)=0\)

TH1 : \(x^2=-1\)( vô lí )

TH2 : \(x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

Vậy phương trình vô nghiệm