Question

[Nguyễn Thị Ngọc]

 Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để: (1 + 1)(2 + 2²)(3 + 3²)...(n + n²) > 7620042014

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Vì n là số tự nhiên nên \(n+n^2< n^2+2n+1=\left(n+1\right)^2\)

Suy ra : \(\left(1+1^2\right)\left(2+2^2\right)\left(3+3^2\right)...\left(n+n^2\right)< \left(1+1\right)^2.\left(2+1\right)^2.\left(3+1\right)^2...\left(n+1\right)^2\)

                                                                                            \(=\left[1.2.3...\left(n+1\right)\right]^2=\left[\left(n+1\right)!\right]^2\)

\(\Rightarrow\left[\left(n+1\right)!\right]^2>7620042014\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)!>\sqrt{7620042014}>\sqrt{7619893264}=87292\)

Mà \(8!=40320< 87292\) ; \(9!=362880>87292\)

Vì n nhỏ nhất nên n + 1 nhỏ nhất. Do vậy n + 1 = 9 => n = 8