Cho biết tổng của hai số tự nhiên là 2022202220222022. Chứng minh răng tổng các lập phương của chúng chia hết cho...
Đọc tiếp
Cho biết tổng của hai số tự nhiên là 2022202220222022. Chứng minh răng tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XO
10 tháng 2 2021
Gọi 2 số nguyên đó là a ; b
Xét hiệu a3 + b3 - (a + b)
= a3 - a + (b3 - b)
= a(a2 - 1) + b(b2 - 1)
= (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) \(⋮\)6 ( tổng 2 tích 3 số nguyên liên tiếp)
=> Tổng của hai số tự nhiên bất kì chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng các lập phương của chúng chia hết cho 6 (Đpcm)
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
13 tháng 3 2021
Xét \(a^3+b^3-\left(a+b\right)=a^3-a+b^3-b=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)=\)
\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\)
(a-1)a(a+1) và (b-1)b(b+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp mà tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6
CM:
+ 3 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 1 số chẵn nên tích của chúng chia hết cho 2
+ Nếu \(a⋮3\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)
+ Nếu a chia 3 dư 1\(\Rightarrow\left(a-1\right)⋮3\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)
+ Nếu a chia 3 dư 2\(\Rightarrow\left(a+1\right)⋮3\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)
=> (a-1)a(a+1) đồng thời chia hết cho 2 và 3 nên nó chia hết cho 2.3=6 với mọi a
Từ kết quả chứng minh trên
\(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\) và \(\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮6\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(b-1\right)b\left(b+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-\left(a+b\right)⋮6\)
Mà \(a^3+b^3⋮6\Rightarrow\left(a+b\right)⋮6\)
21 tháng 8 2019
Trả lời
dễ mà gọi 2 số đó là x;y(x;yZ)
ta có \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
Vì \(x+y⋮3\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)⋮3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3⋮3\)( đpcm )
PT
1
GT
1
MS
11 tháng 12 2023
Ta giả sử 2 số đó là x, y (x,y\(\in Z\))
Theo đề ta có: \(x+y=3k\)
Lại có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2\left(x+y\right)-3\left(x+y\right)xy=9k^2\left(x+y\right)-9kxy\)
\(=9k\left(kx+ky-xy\right)⋮9\)
=> đpcm