Question

[Lê Ngọc Mai]

\(Cho\hept{\begin{cases}a;b;c;d\ge1\\ab+bc+cd+da=4\end{cases}.}\)Chứng minh rằng : 

\(\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\)\(\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\)\(\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\)\(\frac{d^4}{d^3+2a^3}\ge\frac{4}{3}\)

Answer 1

[Mr Lazy]

Nếu bài toán ko yêu cầu a, b, c, d >= 1:

\(4=ab+bc+cd+da=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\le\frac{\left(a+c+b+d\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c+d\right)^2\ge16\Rightarrow a+b+c+d\ge4\)

\(\frac{a^4}{a^3+2b^3}=\frac{a\left(a^3+2b^3\right)-2ab^3}{a^3+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a^3+b^3+b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{a^3.b^3.b^3}}=a-\frac{2}{3}b\)

Tương tự với các cụm còn lại, công theo vế và áp dụng \(a+b+c+d\ge4\), ta được đpcm.

Answer 2

[Mr Lazy]

\(a;b;c;d\ge1\Rightarrow ab+bc+cd+da\ge4\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi mổi số bằng 1