Cho tam giác ABC có các đường cao BH và CK (H thuộc CA và K thuộc AB). Biết rằng AB+CK=AC+BH. Chứng minh rằng tam giác ABC hoặc là tam giác cân hoặc là tam giác vuông
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét tam giác BCH và tam giác CBK có
góc KBC = góc HCB ( vì tam giác ABC cân )
BC : cạnh chung
góc BKC = CHB = 90 độ (GT )
Từ 3 điều trên => Tam giác BCH = tam giác CBK (cạnh huyền - góc nhọn )
b) Vì tam giác BCH = tam giác CBK ( chứng minh ở câu a )
=> BH = CK ( cặp cạnh tương ứng )
c) Vì tam giác BCH = tam giác CBK ( câu a )
=> CH = BK ( 2 cạnh tương ứng )
Xét tam giác KIB và tam giác HIC có :
Góc KIB = góc HIC ( 2 góc đối đỉnh ) (1)
BK = CH ( chứng minh trên ) (2)
góc IKB = góc IHC = 90 độ (GT ) (3)
Từ (1) (2) và(3) => tam giác KIB = tam giác HIC ( g-c-g )
=> IB = IC ( cặp cạnh tương ứng )
=> tam giác BIC cân tại I
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có
AB=AC
góc HAB chung
=>ΔAHB=ΔAKC
=>AH=AK
b:
Xét ΔABC có
BH,CK là đường cao
BH cắt CK tại I
=>I là trực tâm
=>AI vuông góc BC tại M
Xét ΔKBC vuông tạiK và ΔHCB vuông tại H có
BC chung
KC=HB
=>ΔKBC=ΔHCB
=>góc IBC=góc ICB
=>ΔIBC cân tại I
mà IM là đường cao
nên IM là phân giác
c: Xet ΔBAC có AK/AB=AH/AC
nên KH//BC
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có
AB=AC
\(\widehat{BAH}\) chung
Do đó: ΔAHB=ΔAKC
=>AH=AK
b: Ta có: ΔAHB=ΔAKC
=>\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)
=>\(\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\)
Ta có: AK+KB=AB
AH+HC=AC
mà AK=AH và AB=AC
nên KB=HC
Xét ΔIKB vuông tại K và ΔIHC vuông tại H có
KB=HC
\(\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\)
Do đó: ΔIKB=ΔIHC
c: ta có: ΔIKB=ΔIHC
=>IB=IC
Xét ΔABI và ΔACI có
AB=AC
BI=CI
AI chung
Do đó: ΔABI=ΔACI
=>\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)
=>AI là phân giác của góc BAC
d: Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
ta có: IB=IC
=>I nằm trên đường trung trực của BC(2)
ta có: MB=MC
=>M nằm trên đường trung trực của BC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra A,I,M thẳng hàng
Xét tam giác vuông BKC và tam giác vuông CHB có:
CK = BH (gt)
BC chung
=> Tam giác vuông BKC = Tam giác vuông CHB (ch - cgv)
=> ^B = ^C (2 góc tương ứng)
Xét tam giác ABC: ^B = ^C (cmt)
=> Tam giác ABC cân tại A
△AKC∼△AHB (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{CK}{BH}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\dfrac{CK}{BH}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AC-CK}{AB-BH}=1\)
\(\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\)△ABC cân tại A.
\(AB\ge BH\Rightarrow AB+CK\ge BH+CK\Rightarrow AC+BH\ge BH+CK\Rightarrow AC\ge CK\)-Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(A\equiv H\Leftrightarrow\)△ABC vuông tại A.