x,y,z dương ,x+2y+3z=3
tìm GTLN của Q=\(\frac{88y^3-x^3}{2xy+16y^2}+\frac{297z^3-8y^3}{6zy+36z^2}+\frac{11x^3-27z^3}{3xz+4x^2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\hept{\begin{cases}a=x\\b=2y\\c=3z\end{cases}}\Rightarrow a+b+c=3\)
\(Q=\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}+\frac{11c^3-b^3}{bc+4c^2}+\frac{11a^3-c^3}{ca+4a^2}\)
Cần tìm \(\beta;\gamma\) sau cho \(\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}\le\gamma b+\beta a\)
\(\Leftrightarrow\frac{11.\left(\frac{b}{a}\right)^3-1}{\frac{b}{a}+4\left(\frac{b}{a}\right)^2}\le\gamma\frac{b}{a}+\beta\)
\(\Leftrightarrow\frac{11t^3-1}{t+4t^2}\le\gamma t+\beta\text{ }\left(t=\frac{b}{a}\right)\)
Dự đoán Q max khi a = b = c nên t = 1;
Tới đây dùng pp hệ số bất định để tìm ra \(\gamma=3;\text{ }\beta=-1\)
Vậy ta cần chứng minh \(\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}\le3b-a\Leftrightarrow-\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{ab+4b^2}\le0\)
đoạn sau thêm tham số để làm thì làm sao để tìm được tham số đó ạ, em cũng làm đến đó nhưng không tìm được tham số phù hợp
UCT mở rộng: ta sẽ đi tìm m;n sao cho: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le ma+nb\)
\(\Leftrightarrow a^3+ma^2b+\left(3m+n\right)ab^2+\left(3n-5\right)b^3\ge0\) (1)
\(\Leftrightarrow x^3+m.x^2+\left(3m+n\right)x+\left(3n-5\right)\ge0\) với \(x=\frac{a}{b}\)
Dự đoán rằng sẽ phân tích về dạng \(\left(a-b\right)^2.P\left(a;b\right)\) hay \(\left(x-1\right)^2P\left(x\right)\)
Do đó (1) phải có nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow4m+4n-4=0\Rightarrow n=1-m\)
Thay vào: \(x^3+mx^2+\left(2m+1\right)x-3m-2\ge0\)
Hoocne hạ bậc: \(\left(x-1\right)\left(x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\) cũng có 1 nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow4m+4=0\Rightarrow m=-1\Rightarrow n=2\)
đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x;2y;3z\right)\)\(\Rightarrow\)\(abc=1\)
bđt \(\Leftrightarrow\)\(\Sigma\frac{1}{a^3+b^3+1}\le1\)
\(VT\le\Sigma\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\Sigma\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=1\)
Lời giải:
Đặt $(x,2y,3z)=(a,b,c)$. Khi đó bài toán trở thành:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm GTLN của:
\(S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{ac+2b}}\)
------------------------------------
Từ $a+b+c=2$ ta có:
\(S=\sqrt{\frac{ab}{ab+(a+b+c)c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+(a+b+c)a}}+\sqrt{\frac{ca}{ac+(a+b+c)b}}\)
\(=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}+\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{ca}{(b+c)(b+a)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{(b+a)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+a}+\frac{c}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế:
\(S\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy $S_{\max}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
hay $x=\frac{2}{3}; y=\frac{1}{3}; z=\frac{2}{9}$
bài này có trên OLM do a Dw ( incursion_03 ) giải nè.Đề tuyển sinh vào lớp 10 Dak Lak
\(\frac{1}{x^3y^3}+\frac{1}{x^3y^3}+1\ge\frac{3}{x^2y^2}\) ; \(\frac{y^3}{z^3}+\frac{y^3}{z^3}+1\ge\frac{3y^2}{z^2}\) ; \(x^3z^3+x^3z^3+1\ge3x^2z^2\)
\(\Rightarrow2VT+3\ge2\left(\frac{1}{x^2y^2}+\frac{y^2}{z^2}+x^2z^2\right)+\left(\frac{1}{x^2y^2}+\frac{y^2}{z^2}+x^2z^2\right)\ge2\left(\frac{1}{x^2y^2}+\frac{y^2}{z^2}+x^2z^2\right)+3\sqrt[3]{\frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Khổ rồi!
sao khổ