Bằng phương pháp chứng minh phản chứng minh:
Nếu \(a+b=2cd\)thì ít nhất 1 trong 2 bất đẳng thức sau là đúng :\(c^2\ge a\), \(d^2\ge b\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 9 2018
Giả sử \(a\left(2-b\right)>1,b\left(2-c\right)>1,c\left(2-a\right)>1\)
\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)>1\) (1)
Mặt khác, ta có:
\(a\left(2-a\right)=-a^2+2a=-\left(a-1\right)^2+1\le1\)
Tương tự, \(b\left(2-b\right)\le1,c\left(2-c\right)\le1\)
\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\le1\),điều này trái với (1)
Vậy điều giả sử là sai.
Do đó ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức trên là sai.
15 tháng 10 2017
bài 2
(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi
Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)
khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)
Tương tự \(b< ac,c< ab\)
Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)
mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên
\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)
Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)
Vậy bài toán được chứng minh
15 tháng 10 2017
3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)
và \(xy+yz+xz\ge1\)
ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng
\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)
Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử
\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)
Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó
\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)
mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.
ML
30 tháng 8 2016
Xét hình sau.
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+b^2}=AB\\\sqrt{b^2+c^2}=BC\end{cases}}\)
Cần chứng minh \(AB.BC\ge BH.AC\)
Ta có: \(BH.AC=2S_{\Delta ABC}=AB.BC.\sin ABC\)
Vậy cần chứng minh \(AB.BC\ge AB.BC.\sin ABC\Leftrightarrow\sin ABC\le1\)
Bất bẳng thức cuối hiển nhiên đúng, nên ta có đpcm.
CT
1
HQ
22 tháng 7 2019
Giả sử \(a^2+b^2< 2bc\)
\(b^2+c^2< 2ca\)
\(c^2+a^2< 2ab\)
Ta cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta được: \(a^2+b^2+c^2+b^2+c^2+a^2< 2bc+2ca+2ab\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+b^2+c^2+a^2-2bc-2ca-2ab< 0\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2< 0\)( hiển nhiên vô lý )
Từ đó ta suy ra có ít nhất 1 bất đẳng thức trên là đúng ( đpcm )