Question

[kenny_hanbit]

Cho tứ giác ABCD có (O) đường kính AB tiếp xúc với CD. Chứng minh (I) đường kính CD tiếp xúc với AB\(\Leftrightarrow\)AD song song với BC

Answer 1

[Trần Văn Giáp]

Abcd +CD + AB= 0

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

+) Chứng minh nếu AD // BC thì đường tròn (I) đường kính CD tiếp xúc AB:

Gọi tiếp điểm giữa (O) và CD là H .Từ I hạ IK vuông góc AB tại K.

Khi đó tứ giác KOHI nội tiếp đường tròn (OI) => ^KHI = ^KHD = ^KOI

Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang (Vì BC // AD) có đường trung bình OI nên OI // BC // AD

=> ^KOI = ^KBC. Do đó ^KHD = ^KBC => Tứ giác BKHC nội tiếp. Tương tự, tứ giác ADHK nội tiếp

Từ đó ^DKC = ^DKH + ^CKH = ^DAH + ^CBH. Kết hợp với AD // BC suy ra ^DKC = ^BHA = 90⁰

=> Điểm K thuộc đường tròn (I). Mà AB vuông góc IK tại K nên (I) tiếp xúc AB (*)

+) Chứng minh nếu (I) đường kính CD tiếp xúc với AB thì AD // BC:

Ta gọi tiếp điểm giữa (I) và AB là K, qua K kẻ đường thẳng song song với AH cắt CD tại C'

Lúc này, ^KC'I = ^AHD = ^ABH. Ta có KC' // AH; AH vuông góc BH => KC' vuông góc BH

Do KI vuông góc AB nên ^IKC' = ^ABH. Suy ra ^KC'I = ^IKC' => \(\Delta\)KIC' cân tại I

=> IC' = IK = IC. Mà C và C' nằm cùng phía so với  IK nên C trùng C'.

Từ đây ^KCH = ^AHI = ^KBH => Tứ giác KHCB nội tiếp. Hoàn toàn tương tự, tứ giác AKHD nội tiếp

Vậy thì ^HCB = ^HKA = 180⁰ - ^ADH => AD // BC (**)

+) Qua (*) và (**), ta thu được ĐPCM.