Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x3 + y3 +xy biết x+y= 1
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$M=x^3+y^3+2xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy=x^2-xy+y^2+2xy$
$=x^2+y^2+xy=\frac{1}{4}(x-y)^2+\frac{3}{4}(x+y)^2=\frac{1}{4}(x-y)^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$
Vậy $M_{\min}=\frac{3}{4}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$
\(x+y=1\Rightarrow x=1-y\)
\(A=x^3+y^3+xy\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(=x^2+y^2\) (vì x + y = 1)
\(=\left(1-y\right)^2+y^2\)
\(=2y^2-2y+1\)
\(=2\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall y\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(y-\frac{1}{2}=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=1-y=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{1}{2}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(A=x^3+y^3+xy=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(=x^2-xy+y^2+xy=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Nên min A là \(\frac{1}{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Dự đoán điểm rơi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Giải
Áp dụng bđt Cô-si ta có: \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
Ta có:: \(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2=\left[\left(xy+\frac{1}{16xy}\right)+\frac{15}{16xy}\right]^2\)
\(\ge\left(2\sqrt{\frac{xy}{16xy}}+\frac{15}{16}.4\right)^2\)
\(=\left(\frac{1}{2}+\frac{15}{4}\right)^2\)
\(=\frac{289}{16}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy .................
đang ghi nha hihi
Trời ơi cúp điện