Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ∠ngoài đường tròn, kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn tâm O ( B và C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD.
a) C/minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Gọi H là giao điểm của AO và BC, E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với (O). C/minh AH.AO = AE.AD và ∠BDC = ∠AHE + ∠ACE
ai giải giúp mình với ạ ☹
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)
Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp
c: Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
Xét ΔBAD vuông tại B có BE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(1\right)\)
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
hay \(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)
Xét ΔAEH và ΔAOD có
\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)
\(\widehat{HAE}\) chung
Do đó: ΔAEH\(\sim\)ΔAOD
Suy ra: \(\widehat{AHE}=\widehat{ADO}=\widehat{BDE}\)
a: Xét tứ giác OBAC có
\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^0\)
Do đó: OBAC là tứ giác nội tiếp
a: Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
=>ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=> A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC
=>AO\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Ta có: ΔOED cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)ED tại I
=>OI\(\perp\)AE tại I
Xét ΔAIO vuông tại H và ΔAHK vuông tại H có
\(\widehat{IAO}\) chung
Do đó: ΔAIO~ΔAHK
=>\(\dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AO}{AK}\)
=>\(AH\cdot AO=AI\cdot AK\)
a: Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\)
Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp
a) Ta có
MAMA là tiếp tuyến của đường tròn (gt)
⇒⇒ MA⊥OAMA⊥OA => ˆMAO=90°MAO^=90°
MBMB là tiếp tuyến của đường tròn (gt)
⇒⇒ MB⊥OBMB⊥OB => ˆMBO=90°MBO^=90°
Xét tứ giác MAOBMAOB có ˆMAO+ˆMBO=180°MAO^+MBO^=180° mà chúng ở vị trí đối nhau
⇒⇒ tứ giác MAOBMAOB là tứ giác nội tiếp
⇒⇒ M,A,O,BM,A,O,B cùng thuộc 11 đường tròn
b) Ta có MA,MBMA,MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại MM
⇒⇒ MA=MBMA=MB ⇒⇒ MOMO là tia phân giác ˆAMBAMB^
Xét ΔAMI∆AMI và ΔBMI∆BMI
Có MA=MBMA=MB (cmt)
ˆAMI=ˆBMIAMI^=BMI^ (cmt)
MIMI chung => ΔAMI=ΔBMI∆AMI=∆BMI (c.g.c)
⇒⇒ ˆAIM=ˆBIMAIM^=BIM^
Mà ˆAIM+ˆBIM=180°AIM^+BIM^=180° (kề bù)
⇒⇒ ˆAIM=180°2=90°AIM^=180°2=90°
⇒⇒ MO⊥ABMO⊥AB tại II
c) Ta có: ˆBDC=90°BDC^=90°(Góc nội tiếp chắn đường kính BCBC)
⇒⇒ ΔBDC∆BDC vuông tại D⇒BD⊥CDD⇒BD⊥CD
ΔBCM⊥BΔBCM⊥B (do BMBM là tiếp tuyến của (O))
Hệ thức lượng vào ΔBCM⊥B,BD⊥CDΔBCM⊥B,BD⊥CD (chứng minh trên) ta có:
BM2=MD.MCBM2=MD.MC (1)
Xét ΔMAO∆MAO vuông tại A
AI⊥OMAI⊥OM (Vì AB⊥OMAB⊥OM) ⇒⇒ AM2=MI.MOAM2=MI.MO (2)
mà AM=BMAM=BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒⇒ MD.MC=MA2=MI.MOMD.MC=MA2=MI.MO
d) Xét ΔEOM∆EOM cà ΔIOF∆IOF
ˆEOMEOM^ chung
ˆOIF=ˆOEM=90°OIF^=OEM^=90° (gt &cm)
⇒⇒ ΔEOM∼ΔIOF∆EOM∼∆IOF (g.g)
⇒⇒ OEOI=OMOFOEOI=OMOF (tỉ số đồng dạng)
⇒⇒ OE.OF=OM.OIOE.OF=OM.OI
Lại có ΔOAM∆OAM vuông tại AA
Mà AI⊥OMAI⊥OM (cmt)
⇒⇒ OA2=OI.OMOA2=OI.OM Mà OA=OC=ROA=OC=R
⇒⇒ OC2=OF.OEOC2=OF.OE
⇒⇒ OCOE=OFOCOCOE=OFOC
Xét ΔOCF∆OCF và ΔOCE∆OCE có
ˆCOFCOF^ chung
OCOE=OFOCOCOE=OFOC
⇒⇒ ΔOCF∼ΔOEC∆OCF∼∆OEC (c.g.c)(c.g.c)
⇒⇒ ˆOFC=ˆOCE=90°OFC^=OCE^=90°
⇒⇒ OC⊥CFOC⊥CF tại C
⇒⇒ FCFC là tiếp tuyến của đường tròn
(ĐPCM)
1: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC
Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
=>BC\(\perp\)CD
mà BC\(\perp\)OA
nên CD//OA
2: Ta có: OA là đường trung trực của BC
OA cắt BC tại E
Do đó: E là trung điểm của BC và OA\(\perp\)BC tại E
Xét ΔOBA vuông tại B có BE là đường cao
nên \(OE\cdot OA=OB^2\)
=>\(OE\cdot OA=OD^2\)
=>\(\dfrac{OE}{OD}=\dfrac{OD}{OA}\)
Xét ΔOED và ΔODA có
\(\dfrac{OE}{OD}=\dfrac{OD}{OA}\)
\(\widehat{EOD}\) chung
Do đó: ΔOED~ΔODA
=>\(\widehat{ODE}=\widehat{OAD}\)
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC
=>AO\(\perp\)BC tại trung điểm H của BC
Gọi K là giao điểm của OS và ED
Xét (O) có
SE,SD là các tiếp tuyến
Do đó: SE=SD
=>S nằm trên đường trung trực của ED(3)
Ta có: OE=OD
=>O nằm trên đường trung trực của ED(4)
Từ (3) và (4) suy ra SO là đường trung trực của ED
=>SO\(\perp\)ED tại trung điểm K của ED
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\left(5\right)\)
Xét ΔODS vuông tại D có DK là đường cao
nên \(OK\cdot OS=OD^2=R^2\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) suy ra \(OH\cdot OA=OK\cdot OS\)
=>\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{OS}{OA}\)
Xét ΔOHS và ΔOKA có
\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{OS}{OA}\)
góc HOS chung
Do đó: ΔOHS đồng dạng với ΔOKA
=>\(\widehat{OHS}=\widehat{OKA}\)
=>\(\widehat{OHS}=90^0\)
=>HO\(\perp\)SH tại H
mà HO\(\perp\)BH tại H
và SH,BH có điểm chung là H
nên S,H,B thẳng hàng
mà H,B,C thẳng hàng
nên S,B,H,C thẳng hàng
=>S,B,C thẳng hàng
a: Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
=>ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2\)
mà OB=OD(=R)
nên \(OH\cdot OA=OD^2\)
=>\(\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OD}{OA}\)
Xét ΔOHD và ΔODA có
\(\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OD}{OA}\)
\(\widehat{HOD}\) chung
Do đó: ΔOHD đồng dạng với ΔODA
a, Ta có AC ; AB lần lượt là tiếp tuyến (O) với C;B là tiếp điểm
=> ^ACO = ^ABO = 900
Xét tứ giác ABOC có
^ACO + ^ABO = 1800
mà 2 góc này đối
Vậy tứ giác ABOC là tứ giác nt 1 đường tròn
hay các điểm A;B;O;C cùng thuộc 1 đường tròn
b, Ta có AB = AC ( tc tiếp tuyến cắt nhau )
OC = OB = R
Vậy OA là đường trung trực đoạn BC
=> OA vuông BC
Xét tam giác ACO vuông tại C, đường cao CH
Ta có AC^2 = AH.AO ( hệ thức lượng )
Xét tam giác ACE và tam giác ADC
^A _ chung
^ACE = ^ADC ( cùng chắn cung CE )
Vậy tam giác ACE ~ tam giác ADC (g.g)
\(\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AC^2=AE.AD\)
=> AH . AO = AE . AD (*)
Xét tam giác AHE và tam giác ADO ta có
AH/AD = AE/AO ( tỉ lệ thức * )
^A _ chung
Vậy tam giác AHE ~ tam giác ADO (g.g)
=> ^AHE = ^ADO (1)
Lại có ^ACE = ^CDE ( cùng chắn cung CE ) (2)
Lấy (1) + (2) ta được ^BDC = ^AHE + ^ACE
dm có ông nào giải hộ tôi điiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii