Bài 2: Cho (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho CA < CB. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt tia BA tại M. Đường thẳng qua điểm M vuông góc với AB cắt tia BC tại D.
a) Chứng minh: Tứ giác AMDC nội tiếp.
b) Đường thẳng qua điểm C song song với MD cắt AB tại I và cắt (O) tại E (E khác C).
Chứng minh: CA là tia phân giác của góc MCE
c) Chứng minh: AE.AM= AD.AI và ba đường DM, BE, CA đồng quy.
a, Ta có ^ACB = 900 ( góc nt chắn nửa đường tròn )
Xét tứ giác AMDC có
^AMD + ^ACB = 1800 mà 2 góc này đối
Vậy tứ giác AMDC nt 1 đường tròn
b, Ta có ^MCA = ^MDA ( góc nt chắn cung MA của tứ giác ACDM ) (1)
Lại có ^ACE = ^ABE ( góc nt chắn cung AE ) (2)
mà ^AEB = 900 ( góc nt chắc nửa đường tròn )
Xét tứ giác MDBE có
^DMB = ^DEB = 900
mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh BD
Vậy tứ giác MDBE là tứ giác nt 1 đường tròn
=> ^MDE = ^MBE ( góc nt chắc cung ME ) (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) suy ra ^MCA = ^ICA
=> CA là phân giác ^MCI
c, Xét tam giác DAM và tam giác EAI ta có
^DAM = ^EAI ( đối đỉnh )
^ADM = ^AEI ( so le trong vì BE // DM )
Vậy tam giác DAM ~ tam giác EAI (g.g)
\(\frac{AM}{AI}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AM.AE=AD.AI\)