Cho a,b,c thuộc N* chứng tỏ:
\(\frac{a}{a+b}\)+\(\frac{b}{b+c}\)+\(\frac{c}{c+a}\)không thuộc N
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CS
2
6 tháng 5 2016
ta có:
\(\frac{a}{a+b}=\frac{a\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\frac{b}{b+c}=\frac{b\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(\frac{c}{c+a}=\frac{c\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\)
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a\left(b+c\right)\left(c+a\right)+b\left(a+b\right)\left(c+a\right)+c\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
dễ thấy phần tử của phép tính trên lớn hơn mẫu => phép tính trên cho kết quả lớn hơn 1
PN
6 tháng 5 2016
Ta thấy : a/(a+b) > a/(a+b+c)
b/(b+c) > b/(a+b+c)
c/(c+a)>c/(a+b+c)
=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)> a/(a+b+c) +b/(a+b+c) +c/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c) = 1 (đpcm)
10 tháng 7 2019
Bài 2 : Theo ví dụ trên ta có : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)=> ad < bc
Suy ra :
\(\Leftrightarrow ad+ab< bc+ba\Leftrightarrow a(b+d)< b(a+c)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
Mặt khác : ad < bc => ad + cd < bc + cd
\(\Leftrightarrow d(a+c)< (b+d)c\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Vậy : ....
10 tháng 7 2019
b, Theo câu a ta lần lượt có :
\(-\frac{1}{3}< -\frac{1}{4}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)
\(-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}\)
\(-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}\)
Vậy : \(-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)
24 tháng 1 2017
TA có
\(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}-\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{ab+ac-ab-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{ac-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}\)
vì a>b => a-b > 0 => c(a-b) > 0
=> \(\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}>0\)
\(=>\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}>0\)
\(=>\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\)
=> đpcm
b) Ta có a+b < a+b+c ; b+c < a+b+c ; c+a < a+b+c
\(=>\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(=>\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (1)
Lại có
Áp dùng câu a ta có a< a+b ; b< b+c ; c<c+a
=> \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
\(=>\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (2)
Từ (1) và (2) => dpcm
5 tháng 2 2020
Ta có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\)nên:
\(\Rightarrow a+b+c< a+b+c+d\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
Và: \(\frac{c}{a+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
Và: \(\frac{d}{b+c+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Lại có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\) nên:
\(\Rightarrow a+b+c>a+b\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b}{a+b}\)
Và: \(\frac{c}{a+c+d}< \frac{c}{c+d}\)
Và: \(\frac{d}{b+c+d}< \frac{d}{c+d}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}=2\)
Vậy \(1< M< 2\) nên \(M\) không phải số tự nhiên.
NT
28 tháng 10 2016
Đặt P=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
CM P>1
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
CM: P<2
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Vì 1<P<2 => P ko fai STN
2D
0
NT
CHo a;b;c thuộc N* . CMR : P=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không phải là số tự nhiên
1
26 tháng 10 2016
- CM: P > 1
\(P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(P>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)
\(P>1\left(1\right)\)
- CM: P < 2
Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\) (a;b;c \(\in\) N*), ta có:
\(P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)
\(P< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(P< 2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => 1 < P < 2
=> P không phải số tự nhiên (đpcm)
Ta có :
A > a/a+b+c + b/a+b+c + c/ a+b+c = 1
=> A>1 1/
B = b/a+b + c/b+c + a/c+a < b/a+b+c + c/a+b+c + a/a+b+c=1
=>B>1
Mà A+B = 3 và B>1 nên :
=> A < 2 2/
Từ 1/ và 2/ ,
=> 1<A<2 (đpcm)