Cho tam giác ABC. Kẻ trung tuyến AM (M thuộc BC). Lấy I thuộc cạnh AM, Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh EI= FI.
Gấp ạ,ai giúp mik tặng 3sp,cần gấp trong 10p
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:IE//BM
Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:\(\dfrac{EI}{BM}=\dfrac{AI}{AM}\)(1)
Ta có:IF//MC
Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:\(\dfrac{FI}{CM}=\dfrac{AI}{AM}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{EI}{BM}=\dfrac{IF}{MC}\)
Mà BM=MC(gt) \(\Rightarrow EI=IF\)
a, Vì △ABC cân tại A => AB = AC và ABC = ACB
Xét △ABD và △ACE
Có: AB = AC (cmt)
ABD = ACE (cmt)
BD = CE(gt)
=> △ABD = △ACE (c.g.c)
b, Xét △AHD vuông tại H và △AIE vuông tại I
Có: AD = AE (△ABD = △ACE)
HAD = IAE (△ABD = △ACE)
=> △AHD = △AIE (ch-gn)
=> HD = IE (2 cạnh tương ứng)
c, Xét △AHI có: AH = AI (△AHD = △AIE) => △AHI cân tại A => AHI = (180o - HAI) : 2 (1)
Vì △ABC cân tại A => ABC = (180o - BAC) : 2 (2)
Từ (1) và (2) => AHI = ABC
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị
=> HI // BC (dhnb)
d, Gọi { O } = HD ∩ EI
Xét △BAM và △CAM
Có: AB = AC (cmt)
MB = MC (gt)
AM là cạnh chung
=> △BAM = △CAM (c.c.c)
=> BAM = CAM (2 góc tương ứng)
Mà AM nằm giữa AB, AC
=> AM là phân giác của BAC
Xét △HAO vuông tại H và △IAO vuông tại I
Có: AH = AI (cmt)
AO là cạnh chung
=> △HAO = △IAO (ch-cgv)
=> HAO = IAO (2 góc tương ứng)
=> AO là phân giác của BAC
Mà AM là phân giác của BAC
=> AO ≡ AM
=> 3 điểm A, M, O thẳng hàng
=> Ba đường thẳng AM, DH, EI cắt nhau tại một điểm.
Qua K vẽ đường thẳng // với AB cắt AC tại H.
=> AHKD là hình bình hành => DK = AH (1)
Gọi giao điểm của AK và DH là O. Vì AHKD là HBH => DO = OH
Xét 3 đường thẳng MA, CA, BA đồng quy tại A cắt 2 đường thẳng DH và BC ta được: DO/OH = BM/MC = 1
=> DH // BC (định lí chùm đường thẳng đồng quy đảo)
Xét ∆ ADH và ∆ FEC có:
AD = EF ( t/c đoạn chắn) ; DH = EC (t/c đoạn chắn) ; ^ADH = ^FEC => ∆ ADH = ∆ FEC (c-g-c)
=> AH = CF (2)
Từ (1) và (2) => CF = DK (đpcm)
GL
Do EF//AB⇒\(\frac{CF}{CA}=\frac{EF}{AB}\)⇒\(\frac{CF}{EF}=\frac{AC}{AB}\)(1)
Dựng MG//AC và MM là trung điểm cạnh BC
⇒GM là đường trung bình ΔABC
=⇒G là trung điểm cạnh AB ⇒AG=BG
Do DK//GM⇒\(\frac{AD}{AG}=\frac{DK}{GM}\)⇒\(\frac{AD}{BG}=\frac{DK}{GM}\)
=> \(\frac{DK}{AD}=\frac{GM}{BG}=\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{AB}{2}}=\frac{AC}{AB}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{CF}{EF}=\frac{DK}{AD}\)
Mà tứ giác ADEF là hình bình hành (vì EF//AD và DE//AF) nên AD=EF
=> CF=DK (đpcm)
Nguồn: thuynga
Vì EI//BM
Áp dụng định lý Talet vào tam giác AEI và tam giác ABM có
\(\frac{EI}{BM}=\frac{AI}{AM}\)(1)
Tương tự ta được \(\frac{AI}{AM}=\frac{IF}{MC}\)(2)
Từ (1)(2) => \(\frac{EI}{BM}=\frac{IF}{MC}\)
mà BM = MC
=> EI = IF (đpcm)
Ta có: \(EF//BC\Rightarrow\hept{\begin{cases}EI//BM\left(I;E\in AM,AB\right)\\IF//MC\left(I;F\in AM,AC\right)\end{cases}}\)
Hệ quả định lí Ta-lét: \(\hept{\begin{cases}\frac{EI}{BM}=\frac{AI}{AM}\\\frac{FI}{CM}=\frac{AI}{AM}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{EI}{BM}=\frac{FI}{CM}\)
Mà \(BM=CM\) (vì AM là đường trung tuyến)
\(\Rightarrow EI=FI\)