Chứng minh rằng số nghiệm của 1 đa thức (khác 0) luôn nhỏ hơn hoặc bằng bậc của đa thức đó.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NC
0
7 tháng 1
a: \(H=6x^3y^4-2x^4y^2+3x^2y^2+5x^4y^2-A\cdot x^3y^4\)
\(=x^3y^4\left(6-A\right)+x^4y^2\left(5-2\right)+3x^2y^2\)
\(=\left(6-A\right)\cdot x^3y^4+x^4y^2\cdot3+3x^2y^2\)
Để H có bậc là 6 thì 6-A=0
=>A=6
b: Khi A=6 thì \(H=\left(6-6\right)\cdot x^3y^4+3x^4y^2+3x^2y^2\)
\(=3x^4y^2+3x^2y^2\)
\(=3x^2y^2\left(x^2+1\right)\)
\(x^2+1>1>0\forall x\ne0\)
\(x^2>0\forall x\ne0\)
\(y^2>0\forall y\ne0\)
Do đó: \(x^2y^2\left(x^2+1\right)>0\forall x,y\ne0\)
=>\(H=3x^2y^2\left(x^2+1\right)>0\forall x,y\ne0\)
=>H luôn dương khi x,y khác 0
17 tháng 3 2020
Giả sử P( x ) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt : x1 ; x2 ; x3
\( \implies\) P( x1 ) = 0 \(\iff\) ax12 + bx1 + c = 0 ( 1 )
P( x2 ) = 0 \(\iff\) ax22 + bx2 + c = 0 ( 2 )
P( x3 ) = 0 \(\iff\) ax32 + bx3 + c = 0 ( 3 )
+)Lấy ( 1 ) - ( 2 ) vế với vế ta được : ( ax12 + bx1 + c ) - ( ax22 + bx2 + c ) = 0
\( \implies\) ax12 + bx1 - ax22 - bx2 = 0
\( \implies\) ( ax12 - ax22 ) + ( bx1 - bx2 ) = 0
\( \implies\) a( x12 - x22 ) + b( x1 - x2 ) = 0
\( \implies\) a( x1 - x2 )( x1 + x2 ) + b(x1 - x2 ) = 0
\( \implies\) ( x1 - x2 ) [ a( x1 + x2 ) + b ] = 0
Mà x1 - x2 khác 0 \( \implies\) a( x1 + x2 ) + b = 0 ( 4 )
+)Lấy ( 1 ) - ( 3 ) vế với vế ta được : ( ax12 + bx1 + c ) - ( ax32 + bx3 + c ) = 0
\( \implies\) ax12 + bx1 - ax32 - bx3 = 0
\( \implies\) ( ax12 - ax32 ) + ( bx1 - bx3 ) = 0
\( \implies\) a( x12 - x32 ) + b( x1 - x3 ) = 0
\( \implies\) a( x1 - x3 )( x1 + x3 ) + b(x1 - x3 ) = 0
\( \implies\) ( x1 - x3 ) [ a( x1 + x3 ) + b ] = 0
Mà x1 - x3 khác 0 \( \implies\) a( x1 + x3 ) + b = 0 ( 5 )
+)Lấy ( 4 ) - ( 5 ) vế với vế ta được : [ a( x1 + x2 ) + b ] - [ a( x1 + x3 ) + b ] = 0
\( \implies\) a( x1 + x2 ) + b - a( x1 + x3 ) - b = 0
\( \implies\) a( x1 + x2 ) - a( x1 + x3 ) = 0
\( \implies\) a( x1 + x2 - x1 - x3 ) = 0
\( \implies\) a ( x2 - x3 ) = 0
Mà x2 - x3 khác 0 \( \implies\) a = 0 ( vô lý )
Vậy P( x ) luôn không có quá 2 nghiệm phân biệt
22 tháng 6 2017
sai vì có những trường hợp đa thức không có nghiêm nào.
ví dụ:
\(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge0\)
vậy phương trình vô nghiệm.
theo đầu bài thì đa thức trên phải có hai nghiệm, nhưng theo chứng minh trên thì đa thức không có nghiệm nào (tức là số nghiệm của 1 đa thức một biến không phải lúc nào cũng bằng số bậc của đa thức)