Question

[ABCXYZ]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Các tia phân giác A và B cắt tại I và cắt đường tròn (O) tại D và E.Cm

a. Tam giác BID cân

b.DE là trung trực của IC

c.Gọi giao của DE và AC là F.Cm IF song song BC

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Ta có:

\(\widehat{IBD}=\widehat{EBD}=\frac{1}{2}(\text{sđc(EC)}+\text{sđc(CD)})\)

\(\widehat{BID}=\frac{1}{2}(\text{sđc(BD)}+\text{sđc(AE)})\)

Mà $\text{sđc(EC)}=\text{sđc(AE)}$ và $\text{sđc(CD)}=\text{sđc(BD)}$ do $AD, BE$ là tia phân giác $\widehat{A}, \widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{IBD}=\widehat{BID}$ nên $BID$ là tam giác cân ở $D$

b) Tam giác $BID$ cân tại $D$ nên $BD=ID$$D$ nằm chính giữa cung $BC$ nên $BD=CD$

$\Rightarrow DI=DC(1)$

Lại có: $\widehat{BID}=\widehat{IBD}$

$\widehat{BID}=\widehat{AIE}$

$\widehat{IBD}=\widehat{IAE}$ (góc nt cùng nhìn cung $EC$)

$\Rightarrow \widehat{AIE}=\widehat{IAE}$ nên tam giác $IAE$ cân tại $E$

$\Rightarrow EI=EA=EC(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra $DE$ là trung trực của $IC$

c) $F\in DE$ là đường trung trực $IC$ nên $FI=FC$

$\Rightarrow \triangle FIC$ cân tại $F$

$\Rightarrow \widehat{FIC}=\widehat{FCI}$

Mà $\widehat{FCI}=\widehat{ICB}$ nên $\widehat{FIC}=\widehat{ICB}$ 

Hai góc này ở vị trí so le trong nên $IF\parallel BC$ (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: