Chứng minh : ( n thuộc N*)
\(\left(1-\frac{2}{6}\right)x\left(1-\frac{2}{12}\right)x\left(1-\frac{2}{20}\right)x...x\left(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\right)>\frac{1}{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ML
29 tháng 3 2016
\(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-2}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)
\(\left(1-\frac{2}{2.3}\right)\left(...\right).....\left[1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\right]=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}.\frac{3.6}{4.5}.\frac{4.7}{5.6}....\frac{\left(n-2\right)\left(n+1\right)}{\left(n-1\right).n}.\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}=\)
\(=\frac{1}{3}.\frac{n+2}{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}.\frac{2}{n}>\frac{1}{3}\)
DH
7 tháng 1 2020
Ta thấy các số hạng của vế trái đều có dạng \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\) với \(n\) là số tự nhiên.
Lại có: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)-n}{n\left(n+1\right)}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
Khi đó, phương trình trở thành:
\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(x-1\right)x}+\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{2015}{2016}\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{2015}{2016}\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{x+1}=\frac{2015}{2016}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}=1-\frac{2015}{2016}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2016}\)
\(\Leftrightarrow x+1=2016\)
\(\Leftrightarrow x=2015\)
Vậy \(x=2015\)