K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

6 tháng 3 2021

Giả sử \(a< b< c\)thì \(a\ge2\)\(;\)\(b\ge3\)\(;\)\(c\ge5\)

Ta có:

\(\frac{1}{\left[a,b\right]}=\frac{1}{ab}\le\frac{1}{6}\)\(;\)\(\frac{1}{\left[b,c\right]}=\frac{1}{bc}\le\frac{1}{15}\)\(;\)\(\frac{1}{\left[c,a\right]}=\frac{1}{ca}\le\frac{1}{10}\)

Do đó: \(\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}+\frac{1}{\left[c,a\right]}\le\)\(\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}+\frac{1}{\left[c,a\right]}\le\)\(\frac{1}{3}\)\(\rightarrowĐPCM\)

16 tháng 3 2019

\(\text{Vì }\left[a,b\right],\left[b,c\right],\left[c,a\right]\text{ là BCNN}\)

\(\Rightarrow\left[a,b\right]=a.b;\left[b,c\right]=b.c;\left[c,a\right]=c.a\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a+b\right]}+\frac{1}{\left[b+c\right]}+\frac{1}{\left[c+a\right]}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

\(\text{Giả sử }a< b< c\)

\(\Rightarrow a\le2;b\le3;c\le5\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.2}=\frac{1}{3}\)

\(\text{hay }\frac{1}{\left[a+b\right]}+\frac{1}{\left[b+c\right]}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)

17 tháng 3 2019

ể ==

\(2< 3\Rightarrow\frac{1}{2}>\frac{1}{3}\)

Cậu Bé Tiến Pro: e đổi dấu đi :)) 

3 tháng 8 2019

Giả sử a< b < c thì a \(\ge\)2 , b \(\ge\)3 , c\(\ge\)5 . Ta có :

\(\frac{1}{\left[a,b\right]}=\frac{1}{ab}\le\frac{1}{6},\frac{1}{\left[c,a\right]}=\frac{1}{ca}\le\frac{1}{10}\)

=> vế trái nhỏ hơn hoặc bằng \(\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)

5 tháng 12 2017

P = \(\frac{a^3}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)\(+\)\(\frac{b^3}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)\(+\)\(\frac{c^3}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

   = \(\frac{a^3\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)\(+\)\(\frac{b^3\left(c-a\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(+\)\(\frac{c^3\left(a-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)}\)

  = \(\frac{a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

Tử số = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b)

          = a3(b - c) - b3[(b - c) + (a - b)] + c3(a - b)

          = a3(b - c) - b3(b - c) - b3(a - b) + c3(a - b)

          = (b - c)(a3 - b3) - (a - b)(b3 - c3)

         = (b - c)(a - b)(a2 + ab + b2) - (a - b)(b - c)(b2 + bc + c2)

        = (a - b)(b - c)(a2 + ab + b2 - b2 - bc - c2)

       = (a - b)(b - c)(a2 + ab - bc - c2)

       = (a - b)(b - c)(a - c)(a + b + c)

Vậy  P = \(\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)= a + b + c

Vì a, b , c là các số nguyên đôi một khác nhau nên a + b + c là số nguyên

hay P có giá trị là 1 số nguyên

5 tháng 9 2017

đặt x=a-b;y=b-c;z=c-a

ta có x+y+z=0

nên ta có ĐPCM 

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)

<=> \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

<=> \(2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=0\)

<=> \(\frac{z}{xyz}+\frac{y}{xyz}+\frac{x}{xyz}=0\)

<=> \(\frac{x+y+z}{xyz}=0\) (luôn đúng )