1.CMR:
\(1<\frac{a}{c+a+b}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{c+a+b}+\frac{d}{c+a+d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SN
1
NA
8 tháng 9 2018
Với a,b,c,d là các số dương, ta có :
\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d};\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d};\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
Cộng 4 bất đẳng thức trên, ta đc :
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)(1)
Lại có :
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+c};\frac{c}{c+d+a}< \frac{c}{a+c}\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{a+d+a}< 1\)(2)
\(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b}{b+d};\frac{d}{d+a+b}< \frac{d}{b+d}\Rightarrow\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}< 1\)(3)
(1),(2),(3) => đpcm
LT
0
R
14 tháng 5 2018
Ta có:
\(\frac{a}{b+c+d}>\frac{a}{a+b+c+d};\frac{b}{a+c+d}>\frac{b}{a+c+b+d};\frac{c}{b+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+c+b+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\left(1\right)\)
Vì \(\frac{a}{b+c+d}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}< \frac{a+c}{b+c+a+d}\)
\(\frac{b}{c+d+a}< 1\Rightarrow\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{b+c+d}< 1\Rightarrow\frac{c}{b+c+d}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{d}{a+b+c}< \frac{d+b}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}< \frac{a+c}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{a+b+c+d}+\frac{d+b}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}< \frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow1< \frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}< 2\)
Vậy a,b,c,d>0 thì \(1< \frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+b+c}< 2\left(đpcm\right)\)
LT
1
LC
30 tháng 10 2015
Đặt \(A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{a+b+d}\)
Ta thấy: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
=> \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{a+b+d}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)
=>\(A>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}\)
=>A>1
Lại có: \(\frac{a}{a+b+c}<\frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{b+c+d}<\frac{b+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}<\frac{c+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+d}<\frac{d+c}{a+b+c+d}\)
=>\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{a+b+d}<\frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{c+b}{a+b+c+d}+\frac{d+c}{a+b+c+d}\)
=>\(A<\frac{a+d+b+a+c+b+d+c}{a+b+c+d}\)
=>\(A<\frac{2.\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)
=>A<2
Vậy \(1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{a+b+d}<2\)
4 tháng 11 2019
Theo tính chất của tỉ lệ thức , ta có :
\(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)
Mặt khác , ta có : \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)
Tương tự , ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\\\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\\\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\end{cases}}\)
Từ ( 3 ) ; ( 4 ) ; ( 5 ) ; ( 6 )
\(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
Vậy...............
P/s : Nếu sai thì bỏ qua nha !
4 tháng 11 2019
Kimetsu bn làm mak mik thấy cứ mắc mắc chỗ nào ý,cách làm thì ko có gì phải bàn.
Ta có:
\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(1\right)\)
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac+ad< a^2+ad+ab+ad+ca+cd\)
\(\Leftrightarrow cd+da>0\) ( luôn đúng )
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
Tương tự rồi cộng lại nha !
7 tháng 9 2015
Bài 1:Với a,b,c,d dương
Ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}<\frac{a}{a+b+c}<\frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+c+d}<\frac{b}{b+c+d}<\frac{b+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}<\frac{c}{a+c+d}<\frac{c+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}<\frac{d}{a+b+d}<\frac{d+b}{a+b+c+d}\)
Cộng vế theo vế 4 bất đẳng thức tên ta có:
\(\) 1< A <2 (đpcm)
Bài 2: a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác.ta có:
\(\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(đpcm\right)\)