Tìm các số nguyên tố x ,y ,z thỏa mãn $(x+y)^2 - x^5 = y^3 - z^3$
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài toán không có lời giải vì không có số nguyên tố âm nên không có kết quả cho bài toán này
Do các số nguyên tố đều lớn hơn 1
\(\Rightarrow x^y>1\Rightarrow z-1>1\Rightarrow z>2\Rightarrow z\) lẻ
\(\Rightarrow z-1\) chẵn
\(\Rightarrow x^y\) chẵn \(\Rightarrow x\) chẵn \(\Rightarrow x=2\)
Pt trở thành: \(2^y=z-1\Rightarrow z=2^y+1\)
- Với \(y=2\Rightarrow z=5\) là SNT (thỏa mãn)
- Với \(y>2\Rightarrow y\) lẻ, đặt \(y=2k+1\) với \(k\ge1\)
\(\Rightarrow z=2^{2k+1}+1=2.4^k+1\)
Hiển nhiên \(z>3\), đồng thời do \(4\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow4^k\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow2.4^k+1\equiv0\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow z⋮3\) mà \(z>3\Rightarrow z\) là hợp số (ktm)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;5\right)\)
Lời giải:
Giả sử $x,y,z$ đều lẻ hoặc đều chẵn. Khi đó $(x+y)^2-x^5$ lẻ, còn $y^3-z^3$ chẵn (vô lý)
Do đó trong $x,y,z$ sẽ tồn tại 1 số chẵn hoặc 2 số chẵn.
TH1: $x,y,z$ tồn tại 2 số chẵn, 1 số lẻ.
- Nếu $x,y$ chẵn, $z$ lẻ thì $x=y=2$. Thay vào đề:
$4-32=8-z^3\Rightarrow z^3=36$ (loại)
- Nếu $x,z$ chẵn, $y$ lẻ thì $x=z=2$. Thay vô:
$(2+y)^2-32=y^3-8$
$\Leftrightarrow y^3-y^2-4y+20=0$
$\Leftrightarrow (y-2)(y-1)(y+2)=-16<0$ (vô lý do $y\geq 3$)
- Nếu $y,z$ chẵn, $x$ lẻ thì $y=z=2$. Thay vô có:
$(x+2)^2-x^5=0$
$\Rightarrow x^5=(x+2)^2$ nên $x$ là scp (vô lý)
TH2: $x,y,z$ tồn tại $1$ số chẵn, 2 số lẻ.
- Nếu $x$ chẵn, $x=2$ thì thay vô có:
$(y+2)^2=32-y^3+z^3$. $y,z$ lẻ nên $(y+2)^2$ lẻ, $32-y^3+z^3$ chẵn (vô lý- loại)
- Nếu $y$ chẵn, $y=2$ thì thay vô có:
$(x+2)^2-x^5=8-z^3$. $x,z$ lẻ nên $(x+2)^2-x^5$ chẵn, còn $8-z^3$ lẻ (vô lý-loại)
- Nếu $z$ chẵn, $z=2$ thì thay vô có:
$(x+y)^2-x^5=y^3-8$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=x^5+y^3-8$
Mà $x^5+y^3-8\geq 9x^2+3y^2-8$
$\Rightarrow 2xy\geq 8x^2+2y^2-8$
$\Leftrightarrow (x-y)^2+7x^2+y^2\leq 8$ (vô lý vì $x,y\geq 3$)
Vậy không tồn tại $x,y,z$ thỏa mãn.