Question

[Phạm Gia Hưng]

cho a,b,c thoả mãn a,b,c>0 và a+b+c<=1. tìm GTNN của \(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}\)

Answer 1

[Lê Song Phương]

Làm theo bạn Hoàng Nhật mình không nói là sai, nhưng chưa chọn đúng điểm rơi. Nếu như theo bạn ấy thì dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a^2=\frac{1}{a^2};b^2=\frac{1}{b^2};c^2=\frac{1}{c^2}\), đồng nghĩa với việc \(a=b=c=1\Rightarrow a+b+c=3\), nhưng đề bài cho điều kiện \(a+b+c\le1\)nên trong trường hợp này nếu làm theo bạn Hoàng Nhật thì dấu "=" không xảy ra được, dẫn đến không tìm được GTNN của biểu thức.

[[[[[[[ Mình thì dự đoán điểm rơi là \(a=b=c=\frac{1}{3}\Rightarrow a^2=b^2=c^2=\frac{1}{9}\)

Tức là \(a^2,b^2,c^2\le\frac{1}{9}\)

Để tách ghép được thành các hạng tử nghịch đảo và áp dụng Cô-si, ta cần ghép \(a^2+k.\frac{1}{a^2}\)

Khi áp dụng Cô-si xong, dấu "=" sẽ xảy ra khi \(a^2=k.\frac{1}{a^2}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^2=k.\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}\Leftrightarrow\frac{1}{9}=9k\Leftrightarrow k=\frac{1}{81}\)]]]]]]]

Đặt \(A=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}\)\(=a^2+\frac{1}{81a^2}+b^2+\frac{1}{81b^2}+c^2+\frac{1}{81c^2}+\frac{80}{81a^2}+\frac{80}{81b^2}+\frac{80}{81c^2}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(a^2\)và \(\frac{1}{81a^2}\), ta có: \(a^2+\frac{1}{81a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{81a^2}}=2.\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\)

Tương tự, ta có: \(b^2+\frac{1}{81b^2}\ge\frac{2}{9};c^2+\frac{1}{81c^2}\ge\frac{2}{9}\)

Mặt khác \(a^2\le\frac{1}{9}\Leftrightarrow\frac{80}{81a^2}\ge\frac{80}{81.\left(\frac{1}{9}\right)}=\frac{80}{9}\)

Tương tự, ta có \(\frac{80}{81b^2}\ge\frac{80}{9};\frac{80}{81c^2}\ge\frac{80}{9}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+\frac{80}{9}+\frac{80}{9}+\frac{80}{9}=\frac{2}{3}+\frac{80}{3}=\frac{82}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy GTNN của \(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}\)là \(\frac{82}{3}\)khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Answer 2

[Lê Song Phương]

Chỗ tớ đánh dấu [[[[[[[ ]]]]]]] là chỗ phân tích, bạn không được ghi vào bài làm nhé.