Question

[Nguyễn Khắc Quang]

Giải các phương trình sau:

a, \(x^4-3x^3+4x^2-3x+1=0\)

b, \(x^2+2y^2+2xy-4x+2y+13=0\)

Answer 1

[Xyz OLM]

a) x⁴ - 3x³ + 4x² - 3x + 1 = 0

<=> (x⁴ - 3x³ + 2x²) + (2x² - 3x + 1) = 0

<=> x²(x² - 3x + 2) + (2x² - 2x - x + 1) = 0

<=> x²(x² - 2x - x + 2) + [2x(x - 1) - (x - 1)] = 0

<=> x²[x(x - 2) - (x - 2)] + (2x - 1)(x - 1) = 0

<=> x²(x - 1)(x - 2) + (2x - 1)(x - 1) = 0

<=> (x - 1)(x³ - 2x²) + (2x - 1)(x - 1) = 0

<=> (x - 1)(x³ - 2x² + 2x - 1) = 0

<=> (x - 1)[(x³ - 1) - (2x² - 2x)] = 0

<=> (x - 1)[(x - 1)(x² + x + 1) - 2x(x - 1)] = 0

<=> (x - 1)²(x² - x + 1) = 0

<=> (x - 1)² = 0 (Vì x² - x + 1 \(\ge0\forall x\))

<=> x - 1 = 0

<=> x = 1

Vậy x = 1 là nghiệm phương trình

b) x² + 2y² + 2xy - 4x + 2y + 13 = 0

<=> (x² + 2xy + y²) - 4(x + y) + 4 + (y² + 6y + 9) = 0

<=> (x + y)² - 4(x + y) + 4 + (y + 3)² = 0

<=> (x + y - 4)² + (y + 3)² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x+y-4=0\\y+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\y=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=7\\y=-3\end{cases}}\)

Vậy x = 7 ; y =- 3 là nghiệm phương trình

Answer 2

[Nobi Nobita]

a) Ta thấy: \(x=0\)không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế cho \(x^2\)ta có:

\(x^2-3x+4-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(3x+\frac{3}{x}\right)+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-3\left(x+\frac{1}{x}\right)+2=0\)

Đặt \(x+\frac{1}{x}=t\)

\(\Rightarrow t^2-3t+2=0\)\(\Leftrightarrow t^2-t-2t+2=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-1\right)-2\left(t-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-1=0\\t-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=2\end{cases}}\)

+) TH1: \(t=1\)\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=1\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=x\)\(\Leftrightarrow x^2-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\)( vô lý do \(VT>0\))

TH2: \(t=2\)\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=2x\)\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)( thỏa mãn \(x\ne0\))

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1\right\}\)