Question

[Cô Gái Mùa Đông]

Cho x,y thỏa mãn 7x²+8xy+7y²=10. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=x²+y²

Answer 1

[Yuri Sweet[𝕿𝖊𝖆𝖒 𝕹𝖊𝖕𝖆𝖑]]

Ta có : \(7x^2+8xy+7y^2=10\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+6\left(x^2+y^2\right)=10\)

\(\Rightarrow6\left(x^2+y^2\right)=10-\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{10-\left(x+y\right)^2}{6}=\frac{5}{3}-\frac{\left(x+y\right)^2}{6}\)

​Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\)\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{6}\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\le\frac{5}{3}\)

Dấu \("="\)xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=0\)

\(\Leftrightarrow x=-y\)

\(\Leftrightarrow7x^2-8x^2+7x^2=10\)

\(\Leftrightarrow6x^2=10\)

\(\Leftrightarrow x^2=\frac{5}{3}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\y=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)

hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{5}{3}\\y=\frac{5}{3}\end{cases}}\)

Ta dễ dàng chứng minh được : \(2xy\le x^2+y^2\forall x,y\)

\(\Rightarrow8xy\le4\left(x^2+y^2\right)\)

Ta có :\(7x^2+8xy+7y^2=7\left(x^2+y^2\right)+8xy=10\)

\(\Rightarrow7\left(x^2+y^2\right)=10-8xy\ge10-4\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Rightarrow11\left(x^2+y^2\right)\ge10\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{10}{11}\)

Dấu \("="\)xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

\(\Leftrightarrow7x^2+8x^2+7x^2=10\)

\(\Leftrightarrow22x^2=10\)

\(\Leftrightarrow x^2=\frac{5}{11}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=\sqrt{\frac{5}{11}}\\x=y=-\sqrt{\frac{5}{11}}\end{cases}}\)

Vậy ...