Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BG.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Tứ diện ABCD đều cạnh a.
Đặt \(\vec{AB}=\vec{x};\vec{AC}=\vec{y};\vec{AD}=z\)
\(\Rightarrow\vec{x}.\vec{y}=\vec{y}.\vec{z}=\vec{z}.\vec{x}=\dfrac{a^2}{2}\)
\(\Rightarrow\vec{CD}=\vec{AD}-\vec{AC}=\vec{z}-\vec{y}\)
\(\vec{AG}=\vec{AB}+\vec{BG}\)
\(=\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\vec{BD}+\vec{BC}\right)\)
\(=\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\vec{AD}-\vec{AB}+\vec{AC}-\vec{AB}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}+\dfrac{1}{3}\vec{AD}\)
\(=\dfrac{1}{3}\vec{x}+\dfrac{1}{3}\vec{y}+\dfrac{1}{3}\vec{z}\)
\(\Rightarrow\vec{CD}.\vec{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\vec{z}-\vec{y}\right)\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\vec{z}\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)-\dfrac{1}{3}\vec{y}\left(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+a^2\right)-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a^2}{2}+a^2+\dfrac{a^2}{2}\right)\)
\(=0\)
\(\Rightarrow AG\perp CD\)
a. theo đề ta có ngay kết luận rằng: \(AG\perp CD\) vì ABCD là hình chóp tam giác đều.
b. Gọi N là trug điểm AD , ta có:
MN // AC \(\Rightarrow\left(AC,BM\right)=\widehat{BMN}\)
Xét \(\Delta BMN\) có
\(BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ( vì BM là trug tuyến trog ΔBCD đều)
\(BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ( vì Bn là trug tuyến trog ΔABD đều)
\(MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{2}\) , vì MN là đường tb trog Δ ACD
\(cos\widehat{BMN}=\dfrac{MB^2+MN^2-BN^2}{2MB.MN}=\dfrac{MN}{2MB}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
Vậy ta được : \(cos\left(AC,BM\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
Còn cách giải khác nữa , mà nó dài nen t lm cách này cho nhanh có gì k hỉu thì hỏi .
Hướng dẫn (khuya quá rồi).
Trong mp (ADN), lấy Q thuộc AD sao cho \(NP||GQ\)
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{MG};\overrightarrow{NP}\right)=\left(\overrightarrow{MG};\overrightarrow{GQ}\right)=180^0-\widehat{MGQ}\)
Áp dụng định lý hàm cos là tính được (\(GP=\dfrac{2}{3}NP\) ; tính MQ dựa vào hàm cos tam giác AMQ)
Cau 33:
\(\left|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)^2}=\sqrt{u^2+v^2-2\cdot u\cdot v\cdot cos120}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2-2\cdot4\cdot3\cdot\dfrac{-1}{2}}=\sqrt{37}\)