Cho \(\int\left(x\right)dx=x\sqrt{x^2+1}\). Tìm I=\(\int x.f\left(x^2\right)dx\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 2 2021
\(I=\dfrac{1}{2}\int f\left(x^2\right)d\left(x^2\right)=\dfrac{1}{2}x^2\sqrt{\left(x^2\right)^2+1}+C=\dfrac{1}{2}x^2\sqrt{x^4+1}+C\)
HT
27 tháng 2 2021
Làm tiếp
\(t=\sqrt{x^4+1}\Rightarrow dt=\dfrac{1}{2}.\left(x^4+1\right)^{-\dfrac{1}{2}}.4.x^3=\dfrac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}dx\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{x^4+1}dt}{x^3}dt\)
\(\Rightarrow\int x.\dfrac{2x^4+1}{\sqrt{x^4+1}}dx=\dfrac{1}{2}\int x.\dfrac{2x^4+1}{\sqrt{x^4+1}}.\dfrac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}dt=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x^4+1}{x^2}dt=\dfrac{1}{2}\int2x^2dt+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{x^2}=\int\sqrt{t^2-1}dt+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\sqrt{t^2-1}}\)
Tất cả đã về dạng cơ bản
Xet \(I_1=\int\sqrt{t^2-1}dt\)
\(\sqrt{t^2-1}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2t^2-1}{\sqrt{t^2-1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{t^2-1}}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{t^2-1}+\dfrac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}\right)-\dfrac{1}{2\sqrt{t^2-1}}\)
\(\left(t\sqrt{t^2-1}\right)'=\sqrt{t^2-1}+\dfrac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}\)
\(\Rightarrow\int\sqrt{t^2-1}dt=\dfrac{1}{2}\int\left(t\sqrt{t^2-1}\right)'dt-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\sqrt{t^2-1}}=\dfrac{1}{2}\left(t\sqrt{t^2-1}\right)-\dfrac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right|+C\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}t\sqrt{t^2-1}-\dfrac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right|+\dfrac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^2-1}\right|=\dfrac{1}{2}t\sqrt{t^2-1}=\dfrac{1}{2}.x^2\sqrt{x^4+1}+C\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 2 2017
Câu 2)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2\frac{\ln x}{x}dx\\ v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\frac{x^3}{3}\ln ^2x-\frac{2}{3}\int x^2\ln xdx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} k=\ln x\\ dt=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dk=\frac{dx}{x}\\ t=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x^2\ln xdx=\frac{x^3\ln x}{3}-\int \frac{x^2}{3}dx=\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+c\)
Do đó \(I=\frac{x^3\ln^2x}{3}-\frac{2}{9}x^3\ln x+\frac{2}{27}x^3+c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 2 2017
Câu 3:
\(I=\int\frac{2}{\cos 2x-7}dx=-\int\frac{2}{2\sin^2x+6}dx=-\int\frac{dx}{\sin^2x+3}\)
Đặt \(t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\ dx=\frac{2dt}{t^2+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=-\int \frac{2dt}{(t^2+1)\left ( \frac{4t^2}{(t^2+1)^2}+3 \right )}=-\int\frac{2(t^2+1)dt}{3t^4+10t^2+3}=-\int \frac{2d\left ( t-\frac{1}{t} \right )}{3\left ( t-\frac{1}{t} \right )^2+16}=\int\frac{2dk}{3k^2+16}\)
Đặt \(k=\frac{4}{\sqrt{3}}\tan v\). Đến đây dễ dàng suy ra \(I=\frac{-1}{2\sqrt{3}}v+c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 2 2020
a/ Tích phân này làm sao giải được nhỉ?
b/ Đặt \(\sqrt{x}=t\Rightarrow x=t^2\Rightarrow dx=2t.dt\)
\(I=\int\frac{2t^2.dt}{4-t^4}=\int\left(\frac{1}{2-t^2}-\frac{1}{2+t^2}\right)dt=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t}\right|+\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\frac{\sqrt{2}}{t}+C\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}\right|+\frac{1}{\sqrt{2}}arctan\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}+C\)
c/ \(I=\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}.xdx\)
Đặt \(\sqrt{1+x^2}=t\Rightarrow x^2=t^2-1\Rightarrow xdx=tdt\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{t^2dt}{t^2-1}=\int\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right)dt=t+ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C=\sqrt{1+x^2}+ln\left|\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}+1}\right|+C\)
d/ Con nguyên hàm này cũng không tính được, chắc bạn ghi nhầm đề
27 tháng 12 2016
1) Đặt \(2+lnx=t\Leftrightarrow x=e^{t-2}\Rightarrow dx=e^{t-2}dt\)
\(I_1=\int\left(\frac{t-2}{t}\right)^2\cdot e^{t-2}\cdot dt=\int\left(1-\frac{4}{t}+\frac{4}{t^2}\right)e^{t-2}dt\\ =\int e^{t-2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt+4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt\)
Có:
\(4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt=-4\int e^{t-2}\cdot d\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}+4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt\\ \Leftrightarrow4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t^{ }}dt=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}\)
Vậy \(I_1=\int e^{t-2}dt-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}=e^{t-2}-\frac{4e^{t-2}}{t}+C\)
27 tháng 12 2016
3) Đặt \(t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}\Rightarrow t^2-1=\sqrt[3]{x^2}\Leftrightarrow x^2=\left(t^2-1\right)^3\)
\(d\left(x^2\right)=d\left[\left(t^2-1\right)^3\right]\Leftrightarrow2x\cdot dx=6t\left(t^2-1\right)^2\cdot dt\)
\(I_3=\int\frac{3t\left(t^2-1\right)^2}{t}dt=3\int\left(t^4-2t^2+1\right)dt=...\)
HT
18 tháng 3 2016
a) Đặt \(\sqrt{2x-5}=t\) khi đó \(x=\frac{t^2+5}{2}\) , \(dx=tdt\)
Do vậy \(I_1=\int\frac{\frac{1}{4}\left(t^2+5\right)^2+3}{t^3}dt=\frac{1}{4}\int\frac{\left(t^4+10t^2+37\right)t}{t^3}dt\)
\(=\frac{1}{4}\int\left(t^2+10+\frac{37}{t^2}\right)dt=\frac{1}{4}\left(\frac{t^3}{3}+10t-\frac{37}{t}\right)+C\)
Trở về biến x, thu được :
\(I_1=\frac{1}{12}\sqrt{\left(2x-5\right)^3}+\frac{5}{2}\sqrt{2x-5}-\frac{37}{4\sqrt{2x-5}}+C\)
b) \(I_2=\frac{1}{3}\int\frac{d\left(\ln\left(3x-1\right)\right)}{\ln\left(3x-1\right)}=\frac{1}{3}\ln\left|\ln\left(3x-1\right)\right|+C\)
c) \(I_3=\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}}dx=\int\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-5}}\)
Đặt \(x-\frac{1}{x}=t\)
\(\Rightarrow\) \(I_3=\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-5}}=\ln\left|t+\sqrt{t^2-5}\right|+C\)
\(=\ln\left|x-\frac{1}{x}+\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}\right|+C\)
SC
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 1 2022
\(I=\int\dfrac{dx}{\sqrt{\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}}}\)
Đặt \(x+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}tanu\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2cos^2u}du\)
\(I=\int\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\sqrt{tan^2u+1}}.\dfrac{1}{2.cos^2u}du=\int\dfrac{1}{cosu}du=\int\dfrac{1}{1-sin^2u}d\left(sinu\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}ln\left|\dfrac{1+sinu}{1-sinu}\right|+C=ln\left(\dfrac{1+sinu}{cosu}\right)+C=ln\left(\dfrac{1}{cosu}+tanu\right)+C\)
Chú ý: \(\dfrac{1}{cosu}=\sqrt{\dfrac{1}{cos^2u}}=\sqrt{1+tan^2u}=\sqrt{1+\left(2x+3\right)^2}=2\sqrt{x^2+3x+2}\)
Do đó: \(I=ln\left(2x+3+2\sqrt{x^2+3x+2}\right)+C\)
\(I=\dfrac{1}{2}\int f\left(x^2\right).d\left(x^2\right)=\dfrac{1}{2}x^2\sqrt{\left(x^2\right)^2+1}=\dfrac{1}{2}x^2\sqrt{x^4+1}\)
Trình bày đầy đủ được không ạ