Question

[Pham Trong Bach]

Cho tứ diện ABCD có $AD\perp \left(ABC\right)$, đáy ABC thỏa mãn điều kiện $\frac{cot A+cot B+cot C}{2}$= $\frac{BC}{AB.AC}+\frac{CA}{BC.BA}+\frac{AB}{CA.CB}.$ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên DB và DC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCHK

A.  $V=\frac{32\mathrm{\pi }}{3}$

B.  $V=\frac{8\mathrm{\pi }}{3}$

C.  $V=\frac{4\mathrm{\pi }}{3\sqrt{3}}$

D.  $V=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do tam giác AHB vuông tại  H nên I thuộc trục của tam giác AHB. Tương tự I cũng thuộc trục của tam giác AKC. Suy ra I cách đều A, B, H,K, C nên nó là tâm mặt  cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH. 

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH thì R cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:

cot A + cot B + cot C  = b 2 + c 2 - a 2 4 S + a 2 + c 2 - b 2 4 S + a 2 + b 2 - c 2 4 S = a 2 + b 2 + c 2 4 S

Nên  c o t   A + c o t   B + c o t   C 2 = B C A B . A C + C A B C . B A + A B C A . C B

⇔ a 2 + b 2 + c 2 8 S = a . sin   A b c .   sin   A + b . sin   B c a .   sin   B + c . sin   C a b .   sin   C

⇔ a 2 + b 2 + c 2 8 S = a 2 4 R S + b 2 4 R S + c 2 4 R S ⇔ R = 2 ⇒ V = 4 3 πR 3 = 32 π 3