Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh khi cho phần tô đậm (hình vẽ) quay quanh đường thẳng AD bằng
A. 4 πa 3 3 27
B. 20 πa 3 3 217
C. πa 3 3 24
D. 24 πa 3 3 216
Thể tích cần tìm bằng thể tích của khối cầu đường kính AD trừ đi thể tích khối nón sinh bởi tam giác ABC khi quay quanh trục AD.
+) ∆ A D C vuông tại C ⇒ a D = A C c o s D A C = a 3 2 = 2 a 3
⇒ Bán kính khối cầu đường kính AD là: R = a 3
⇒ V c a u = 4 3 π . a 3 3 = 4 πa 3 3 27
+) ∆ A B C đều cạnh a ⇒ A H = a 3 3 r = H B = H C = a 2
Thể tích khối nón là:
V n o n = 1 3 π ( a 2 ) 2 . a 3 2 = πa 3 3 24
Thể tích cần tìm là:
V = 4 πa 3 3 27 - πa 3 3 24 = 24 πa 3 3 216
Chọn đáp án D.