Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp SABCD bằng 4 a 3 3 . Khi đó, độ dài SC bằng
A. 3a
B. 6 a
C. 2a
D. 6a
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án D
Gọi H,M lần lượt là trung điểm của AB và CD
Vì Δ S A B đều và mặt phẳng S A B ⊥ A B C D ⇒ S H ⊥ A B C D .
Ta có
C D ⊥ H M C D ⊥ S H ⇒ C D ⊥ S H M (1)
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng S C D (2)
Từ (1) và (2) suy ra H I ⊥ S C D
Vì A B // C D ⇒ A B // S C D ⇒ d A , S C D = d H , S C D = H I = 3 a 7 7
Giải sử A B = x x > 0 ⇒ S H = x 3 2 H M = x .
Mặt khác: 1 H I 2 = 1 H M 2 + 1 S H 2 ⇔ 7 9 a 2 = 1 x 2 + 4 3 x 2 ⇔ x 2 = 3 a 2 ⇒ x = 3 a
Thể tích: V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . 3 a 2 .3 a 2 = 3 a 3 2 (đvtt)
Kẻ \(SH\perp AB\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)
Trong mp (ABCD), qua H kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại K
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB\perp\left(SHK\right)\\CD\perp\left(SHK\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(SHK\right)\perp\left(SAB\right)\\\left(SHK\right)\perp\left(SCD\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{HSK}\) là góc giữa (SAB) và (SCD)
Ta có:
\(SB=\sqrt{AB^2-SA^2}=a\sqrt{3}\Rightarrow SH=\dfrac{SA.SB}{AB}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\); \(HK=AD=2a\)
\(tan\widehat{HSK}=\dfrac{HK}{SH}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\Rightarrow\widehat{HSK}\approx66^035'\)
Phương pháp:
Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: V = 1 3 S h
Cách giải:
Đáp án là C
ta có S A B ⊥ A B C D S A B ∩ A B C D = A B S H ⊥ A B ⇒ S H ⊥ A B C D
mà D I ⊥ C H D I ⊥ S H ⇒ D I ⊥ S H C ⇒ d D , S H C = D I = 2 a 2
ta có
Δ B H C = Δ A H E ⇒ S Δ B H C = S Δ A H E ; H E = H C
mà
S A B C D = S A H C D + S Δ B H C = S A H C D + S Δ A H E = S Δ D C E
Tam giác SAB đều nên . S H = a 3
Tam giác SHC có
H C = S C 2 − S H 2 = a 2 ⇒ E C = 2 H C = 2 a 2 .
Khi đó S A B C D = S Δ D C E = 1 2 D I . E C = 4 a 2 .
Vậy V A B C D = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 a 3 .4 a 2 = 4 a 3 3 3 .
Đáp án là A.
V S . A B C D = 4 a 3 3 = 1 3 .4 a 2 . S H
S C = S H 2 + H C 2 = S H 2 + B H 2 + B C 2 = a 6 .