Chứng minh nếu a thuộc Z mà ko chia hết cho 5 và 7 thì \(\left(a^4-1\right)\left(a^415a^2+1\right)\) chia hết cho 35
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 1 2020
Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $A$
$\bullet$ Chứng minh $A\vdots 5$
Ta nhớ đến tính chất quen thuộc là: Một số chính phương khi chia cho $5$ có dư là $0,1,4$
Do đó, với $a$ là số nguyên không chia hết cho $5$ thì $a^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$
Hay $a^2\equiv \pm 1\pmod 5$
$\Rightarrow a^4\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^4-1\equiv 0\pmod 5$
$\Rightarrow A=(a^4-1)(a^4+15a^2+1)\equiv 0\pmod 5$
Hay $A\vdots 5(*)$
----------------------
Chứng minh $A\vdots 7$
$A=(a^4-1)(a^4+a^2+1)+14a^2(a^4-1)$
$=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)$
Ta nhớ đến tính chất quen thuộc: Một số lập phương khi chia cho $7$ có dư $0,1,6$
Do đó, với $a$ là số không chia hết $7$ thì $a^3$ chia $7$ có thể dư $1,6$
Hay $a^3\equiv \pm 1\pmod 7$
$\Rightarrow a^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow a^6-1\equiv 0\pmod 7$
$\Rightarrow A=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)\equiv 0\pmod 7$
Hay $A\vdots 7(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots 35$
HL
1
22 tháng 1 2016
a^4-1 = (a-1)(a+1)(a^2+1)
Nếu a chia 5 du 1 suy ra n-1 chia het cho 5
Nêu a chia 5 du 2 suy ra n^2 chia 5 du 4 suy ra n^2+1 chia het cho 5 (dùng đồng dư)
tương tự với a chia 5 du 3,4
vay a^4-1 luôn chia het cho 5
CM chia hết 7 là xong
Nêu a chia 7 du 1 ,5,6 thay nhu tren vao a^4-1 la xong
Voi a chia 7 du 2,3,4
Neu a chia 7 du 2 thi a^4 chia 7 du 16 ; a^2 chia 7 du 4<=>15a^2 chia 7 du 60
suy ra a^4+15a^2+1 chia 7 du 16+60+1=77 chia het cho 7
Neu a chia 7 du 3, 4 tươ]ng tu
22 tháng 1 2016
Ta có: a không chia hết cho 5
=> a chia 5 dư 1;2;3 hoặc 4
=>a4 chia 5 dư 1 (tính chất)
=>a4-1 chia hết cho 5
Phần sau làm tương tự
DH
21 tháng 12 2019
a, \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\)
\(=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)
Vì \(a,a+1\) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên:
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\) chia hết cho \(2\)
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) chia hết cho \(2\)
Vì \(a,a+1,a+2\) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên:
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) chia hết cho 3
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) chia hết cho \(2.3\)
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) chia hết cho \(6\left(đpcm\right)\)
b, \(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)\)
\(=a\left[2a-3-2\left(a+1\right)\right]\)
\(=-5a\) chia hết cho \(5\left(đpcm\right)\)
14 tháng 8 2019
\(b,n^2\left(n^4-1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)\)
Ta có:\(n^2-1;n^2;n^2+1\) là 3 số nghuyên liên tiếp
\(\Rightarrow n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)⋮60\)
\(\Rightarrowđpcm\)
=>