Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo tra một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là
2
β
=
60
°
bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nón. Cho biết chiều cao của mặt nón bằng 9cm. Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án B
Phương pháp:
Tính bán kính hai khối cầu dựa vào các mối quan hệ đường tròn nội tiếp tam giác.
Tính thể tích hai khối cầu đã cho theo công thức V = 4 3 π . R 3 và suy ra kết luận.
Cách giải: Cắt món đồ chơi đó bằng mặt phẳng đứng đi qua trục hình nón.
Gọi P, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, I, J trên AB.
Vì B A C = 2 β = 60 ° , A M = 9 c m .
⇒ B M = M C = 3 3 A B = A C = 6 3 = B C ⇒ Δ A B C đều.
Vì IM là bán kính mặt cầu nội tiếp tam giác đều ABC nên I H = I M = A M 3 = 3
Gọi là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Vì Δ A B C đều nên dẫn đến Δ A B ' C ' đều.
Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp:
J K = J G = A G 3 = A M 9 = 1
Vậy tổng thể tích là:
V 1 + V 2 = 4 3 π . I H 3 + 4 3 π . J K 3 = 112 π 3
Chú ý khi giải:
Cần chú ý vận dụng các mối quan hệ đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác đều trong việc tính bán kính các khối cầu.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét mặt phẳng (DAM) đi qua đỉnh D tạo với mặt phẳng đáy một góc 600, cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và M. Từ tâm O của đường tròn đáy ta vẽ OH ⊥ AM, do vậy H là trung điểm của đoạn AM. Ta có AM ⊥ (DOH) vì AM ⊥ OH và AM ⊥ DO.
Vậy
∠
DHO = 60
°
và
hay
Gọi SΔ DAM là diện tích thiết diện cần tìm, ta có: S △ DAM = AH.DH
Mà
Vậy