Cho dãy số: \(\frac{ab+bc}{a+b}=\frac{bc+ca}{b+c}=\frac{ca+ab}{c+a}\)
CMR: a=b=c
P/s: ab , bc , ca đều là số có 2 chữ số (tức là có gạch ngang trên đầu í)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{bc}{b^2+ca+ab}\le\dfrac{bc\left(c^2+ca+ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}\le\dfrac{ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\le\dfrac{a^2+c^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
\(\Leftrightarrow ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Nhân phá và rút gọn 2 vế:
\(\Leftrightarrow a^3b+b^3c+c^3a\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3b+b^3c+c^3a}{abc}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge a+b+c\)
Đúng do: \(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
dạng này thì chỉ có quy đồng thôi nhé mặc dù quy đồng chưa ra
\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
Câu hỏi của Đậu Đình Kiên - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Từ \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\) suy ra \(\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó \(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
Từ giả thiết suy ra \(\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)(vì a,b,c khác 0)
\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow M=1\)
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{ab+bc}{a+b}=\frac{bc+ca}{b+c}=\frac{ca+ab}{c+a}=\frac{ab+bc+bc+ca+ca+ab}{a+b+b+c+c+a}=\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\)
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta lại có
\(\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}=\frac{ab}{a}+\frac{bc}{b}+\frac{ca}{c}=\frac{ab}{a}=\frac{bc}{b}=\frac{ca}{a}\)
Từ \(\frac{ab}{a}=\frac{bc}{b}=\frac{ca}{c}\Rightarrow\frac{b}{1}=\frac{c}{1}=\frac{a}{1}\Rightarrow b=c=a\)
vậy a=b=c (đpcm)
Bao nhiêu **** cho hình này !!!!?????????????????/ Tick mạnh vô ae ơi