cho 2 số thực x,y #0. CMR: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 2 2020
Đặt \(x^2+y^2=a;xy=b\) \(\Rightarrow a-b=1\Leftrightarrow b=a-1\)
Từ giả thiết:\(x^2+y^2-xy=1\Leftrightarrow x^2+y^2+\left(x-y\right)^2=2\ge x^2+y^2\)
Và \(2x^2+2y^2=2xy+2\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=\left(x+y\right)^2+2\ge2\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{2}{3}\)
Suy ra:\(\frac{2}{3}\le a\le2\)
Ta có:\(x^4+y^4-x^2y^2=\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2=a^2-3b^2=-2a^2+6a-3\)
Đến đây vẽ bảng biến thiên ra :))
24 tháng 3 2019
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\)
\(=\frac{x^2-xy}{y^2}+\frac{y^2-xy}{x^2}\)
\(=\frac{x^4-x^3y+y^4-xy^3}{x^2y^2}\)
\(=\frac{x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)}{x^2y^2}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)}{x^2y^2}\)
TP
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 10 2021
a. Đề bài em ghi sai thì phải
Vì:
\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 10 2021
b.
Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)
Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R
Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm
\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)
\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)
Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb
B
1
20 tháng 11 2021
Ta có :
\(x^2+y^2+xy=3\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-xy=3\)
\(\Rightarrow \left(x+y\right)^2=3+xy\)
hay \(S^2=3+xy\le3+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=3+\frac{S^2}{4}\)
\(\Rightarrow S^2\le3+\frac{S^2}{4}\)
\(\Rightarrow S^2\le4\)
\(\Rightarrow-2\le S\le2\)
GTLN của S = 2
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=a^2\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=a^2\)
Mà \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}=2\) (BĐT Cauchy)
\(\Rightarrow a^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\ge4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a\ge2\\a\le-2\end{cases}}\)
Ta có: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2+4\ge3a\)
\(\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a\ge2\\a\le1\end{cases}}\) Dấu "=" xảy ra khi: \(\orbr{\begin{cases}a=2\\a=1\end{cases}}\)
Nếu \(a=2\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{x}=\frac{2}{2}=1\Rightarrow x=y=1\)
Nếu \(a=1\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}y\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}}\Rightarrow x=y=0\left(ktm\right)\)
Vậy \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow x=y=1\)