Question

[Lê Tài Bảo Châu]

Tìm nguyện nguyên dương

\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Answer 1

[Đặng Ngọc Quỳnh]

\(\Leftrightarrow x+y+3+2\sqrt{x+y+3}+1=x+2\sqrt{xy}+y\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{xy}-2\Leftrightarrow x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}=\frac{xy-x-y+1}{4}\)

Nếu xy không là số chính phương thì VT là số vô tỉ còn VP là số hữu tỉ (vô lý)

Vậy \(xy=k^2\Rightarrow\sqrt{xy}=k\)

Ta có : \(x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}=xy-2\sqrt{2xy}+1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\)(*)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y}=k-1-\sqrt{x}\Leftrightarrow y=\left(k-1\right)^2-2\left(k-1\right)\sqrt{x}+x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{\left(k-1\right)^2+x-y}{2\left(k-1\right)}\)( vì .....k>2)

Nếu x không là số chính phương thì VT là số vô tỉ, VP là hữu tỉ(vô lý)

Vậy x là số chính phương , tương tự y là số chính phương.

Đặt \(x=a^2;y=b^2\), từ (*) \(a+b=ab+1\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=2\)

Ta tìm được (a;b)=(2;3);(3;2)=> (x;y)=(4;9);(9;4)