Các bạn ơi cho mik hỏi bài này
Cho a+b+c=0 chứng minh rằng a^3+b^3+c^3-3abc = 0
và giải thích vì sao nha. mik cảm ơn
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 8 2018
1 ) Ta có :
\(a+b-c=0\Leftrightarrow a+b=c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-c^3=a^3+b^3-\left(a+b\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-c^3=a^3+b^3-3a^2b-3b^2a-b^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-c^3=-3a^2b-3b^2a\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-c^3=-3abc\left(đpcm\right)\)
2 ) Ta có :
\(a-b+c=0\Leftrightarrow c=b-a\Leftrightarrow c^3=\left(b-a\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=a^3-b^3+\left(b-a\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=a^3-b^3+b^3-3a^2b+3b^2a-a^3\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=-3a^2b+3b^2a\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=-3ab\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=3ab\left(b-a\right)\)
\(\Rightarrow a^3-b^3+c^3=3abc\left(đpcm\right)\)
15 tháng 8 2018
1 ) Bổ sung dấu \(\Rightarrow\) thứ 2 :
\(\Rightarrow...=a^3+b^3-a^3-3a^2b-3b^2a-b^3\)
7 tháng 8 2016
1) a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
= (a+b+c)(a2+2ab+b2-ab-ac+c2) -3ab(a+b+c)
= (a+b+c)( a2+b2+c2-ab-bc-ca)
22 tháng 6 2018
\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)\)
\(-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)
\(\left(a-b\right)^2>=0\Rightarrow a^2-2ab+b^2>=0\Rightarrow a^2+b^2>=2ab\)
tương tự \(a^2+c^2>=2ac;b^2+c^2>=2bc\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2>=2ab+2ac+2bc\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)>=2\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2.=ab+ac+bc\)dấu = xảy ra khi a=b=c
mà nếu \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\Rightarrow a=b=c\)
th1:a+b+c=0
\(\Rightarrow a+b=-c;a+c=-b;b+c=-a\)
\(M=\frac{ab^2}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2-b^2}=\frac{ab^2}{a^2+b^2-\left(-c\right)^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2-\left(-a\right)^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2-\left(-b\right)^2}\)
\(=\frac{ab^2}{a^2+b^2-\left(a+b\right)^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2-\left(b+c\right)^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2-\left(c+a\right)^2}\)
\(=\frac{ab^2}{a^2+b^2-a^2-2ab-b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2-b^2-2bc-c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2-c^2-2ac-a^2}\)
\(=\frac{ab^2}{-2ab}+\frac{bc^2}{-2bc}+\frac{ca^2}{-2ac}=\frac{b}{-2}+\frac{c}{-2}+\frac{a}{-2}=\frac{a+b+c}{-2}=\frac{0}{-2}=0\)
th2:a=b=c tự lm nhá
LC
6 tháng 7 2015
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>ad=bc=>\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=>\frac{2014.a}{2014c}=\frac{2015b}{2015d}\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{2014a}{2014c}=\frac{2015b}{2015d}=\frac{2014a-2015b}{2014c-2015d}=\frac{2014a+2015b}{2014c+2015d}\)
=>\(\frac{2014a-2015b}{2014c-2015d}=\frac{2014a+2015b}{2014c+2015d}\)
=> (2014a-2015b).(2014c+2015d)=(2014c-2015d).(2014a+2015b)
=>\(\frac{2014a-2015b}{2014a+2015b}=\frac{2014c-2015d}{2014c+2015d}\)
LD
10 tháng 5 2019
a. Ta chứng minh với \(a,b\ge0\) thì:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) là bất đẳng thức đúng
Dấu "=" khi a = b
Áp dụng:
\(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
Dấu = khi a = b
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 2 2022
\(VT=\dfrac{a^2}{b+ab^2c}+\dfrac{b^2}{b+abc^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{3+3abc}\)
\(VT\ge\dfrac{9}{3+\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{9}}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab.0\)
\(=0-0=0\)
thank bạn nha