Cho a,b>0.Chứng minh
\(a+b\ge\frac{4ab}{1+ab}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
1
ML
11 tháng 10 2015
\(\text{bđt}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge4ab\)
Theo bất đẳng thức Côsi: \(a+b\ge2\sqrt{ab};\text{ }1+ab\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab\text{ (đpcm).}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b;\text{ }ab=1\Leftrightarrow a=b=1\)
N
29 tháng 9 2019
Ta bien doi BDT can chung minh
\(a+b\ge\frac{4ab}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow a+a^2b+b+ab^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\ge4\)
Ta co:
\(a+\frac{1}{a}\ge2\)
\(b+\frac{1}{b}\ge2\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\ge4\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=1\)
LH
2
29 tháng 5 2017
\(S=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{4ab}+4ab\right)+\frac{1}{4ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2.\sqrt{\frac{4ab}{4ab}}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}=4+2+1=7\)
24 tháng 12 2019
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )
=>đpcm
25 tháng 12 2019
Cô si
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng lại ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
18 tháng 8 2019
a) Giả sử:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
=> đpcm
18 tháng 8 2019
b, Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ca}{b};\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ab}{c};\frac{ca}{b}\)và \(\frac{ab}{c}\)
Ta lần lượt có : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c;\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}\)
Cộng từng vế ta đc bất đẳng thức cần chứng minh . Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\)
c, Với các số dương \(3a\) và \(5b\), Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{3a+5b}{2}\ge\sqrt{3a.5b}\)
\(\Leftrightarrow\left(3a+5b\right)^2\ge4.15P\)( Vì \(P=a.b\))
\(\Leftrightarrow12^2\ge60P\)\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\Rightarrow maxP=\frac{12}{5}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(3a=5b=12:2\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=\frac{6}{5}\)
BĐT cần chứng minh tương đương với
\(\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge4ab\)
Thật vậy
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(1+ab\ge2\sqrt{ab}\)
Nhân từng vế 2 bđt trên => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c>0
lộn, a=b>0