- Với a,b,c không âm chứng minh rằng \(P=\sqrt{\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\left(b-c\right)^2+2\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\left(c-a\right)^2+2\left(c+a\right)^2}\text{≥}2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)\(\text{≥}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 6 2023
Ta có \(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\)
\(=\sqrt{2a\left(a+b+c\right)+\dfrac{b^2-2bc+c^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{4a^2+b^2+c^2+4ab+4ac-2bc}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2-4bc}{2}}\)
\(\le\sqrt{\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2}}\)
\(=\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}\).
Vậy \(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}\). Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng vế, ta được \(VT\le\dfrac{2a+b+c+2b+c+a+2c+a+b}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}\) \(=\dfrac{4.1011}{\sqrt{2}}\) \(=2022\sqrt{2}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}ab=0\\bc=0\\ca=0\\a+b+c=1011\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1011;0;0\right)\) hoặc các hoán vị. Vậy ta có đpcm.
A
22 tháng 5 2023
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(ac+bc\right)^2}=ac+bc\)
CMTT : \(\sqrt{\left(a^2+d^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge ad+bd\)
Ta có :\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}+\sqrt{\left(a^2+d^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge ac+bc+ad+bd=\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)
TN
19 tháng 6 2017
Ta chứng minh :\(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge a+b\)
\(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge a+b\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}\ge b+c;\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}\ge a+c\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
N
21 tháng 8 2016
Ta có:\(\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)=b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}=\sqrt{\frac{b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}\)
Tương tự\(\Rightarrow\)VT=\(\Sigma\sqrt{\frac{b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}}\)
Đặt \(x=a\left(b^2+c^2\right)\);\(y=b\left(a^2+c^2\right)\);\(z=c\left(b^2+a^2\right)\)
VT=\(\sqrt{\frac{x+y}{z}}+\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{x+z}{y}}\ge3\sqrt[6]{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}}\ge3\sqrt{2}\)(BĐT Cô-si)
Dấu''='' xra\(\Leftrightarrow\)a=b=c
\(P=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+...+\sqrt{3c^2+2ac+3a^2}\)
ta có:
\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}\ge\sqrt{2}\left(a+b\right)\Leftrightarrow3a^2+2ab+3b^2\ge2a^2+4ab+2b^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đ\right)\)
\(\text{tương tự suy ra:}P\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)