Cho tam giác nhọn ABC, AD là đường cao. Vẽ các điểm M, N sao cho AB là trung trực của DM, AC là trung trực của DN. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của MN với AC, AB. CMR: a) Tam giác AMN cân b) DE+EF+DF=MN c) DA là phân giác góc EDF d) Giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF và trực tâm tam giác ABC trùng...
Đọc tiếp
Cho tam giác nhọn ABC, AD là đường cao. Vẽ các điểm M, N sao cho AB là trung trực của DM, AC là trung trực của DN. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của MN với AC, AB. CMR: a) Tam giác AMN cân b) DE+EF+DF=MN c) DA là phân giác góc EDF d) Giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF và trực tâm tam giác ABC trùng nhau
a) Ta có: AB là đường trung trực của DM(gt)
⇔A nằm trên đường trung trực của DM
hay AM=AD(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: AC là đường trung trực của DN(gt)
⇔A nằm trên đường trung trực của DN
hay AD=AN(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM=AN
Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)
nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
b) Ta có: AB là đường trung trực của MD(gt)
mà F∈AB(AB\(\cap\)MN={F})
nên FB là đường trung trực của MD
⇔F nằm trên đường trung trực của MD
hay FM=FD(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: AC là đường trung trực của DN(gt)
mà E∈AC(AC\(\cap\)MN={E})
nên EC là đường trung trực của DN
⇔E nằm trên đường trung trực của DN
hay ED=EN(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Ta có: ME+EN=MN(E nằm giữa M và N)
mà ME=MF+FE(F nằm giữa M và E)
nên MN=MF+FE+EN(5)
Từ (3),(4) và (5) suy ra DE+EF+FD=MN(đpcm)