Question

[Lê Mai Hương]

Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-my=2-4m\\mx+y=3m+1\end{matrix}\right.\) .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(L=x^2+y^2-2x\) khi m thay đổi

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left\{{}\begin{matrix}x-my=2-4m\\m^2x+my=3m^2+m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-my=2-4m\\\left(m^2+1\right)x=3m^2-3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3m^2-3m+2}{m^2+1}=3-\frac{3m+1}{m^2+1}\\y=\frac{4m^2+m+1}{m^2+1}=4-\frac{3-m}{m^2+1}\end{matrix}\right.\)

\(L=\left(3-\frac{3m+1}{m^2+1}\right)^2+\left(4-\frac{3-m}{m^2+1}\right)^2-6+\frac{6m+2}{m^2+1}\)

\(=19-\frac{4m+6}{m^2+1}\)

\(L_{max}\) khi \(k=\frac{4m+6}{m^2+1}\) đạt min

\(k=\frac{4m+6}{m^2+1}=km^2-4m+k-6=0\)

\(\Delta'=4-k\left(k-6\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-k^2+6k+4\ge0\Rightarrow3-\sqrt{13}\le k\le3+\sqrt{13}\)

\(\Rightarrow L\le19-\left(3-\sqrt{13}\right)=16+\sqrt{13}\)