Question

[Trần Bảo Hân]

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm,AC = 6cm, AH là đường cao, AD là đường phân giác.

a) Tính BD và CD

b) Kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh: AE.AB = \(AH^2\)

c) Chứng minh AE.AB = AF.AC

d) Tính BE

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=8^2+6^2=100\)

hay \(BC=\sqrt{100}=10cm\)

Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\frac{DC}{6}=\frac{DB}{8}\)

Ta có: DC+DB=BC(D nằm giữa B và C)

hay DC+DB=10cm

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{DC}{6}=\frac{DB}{8}=\frac{DB+DC}{8+6}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}\)

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{DC}{6}=\frac{5}{7}\\\frac{DB}{8}=\frac{5}{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}DC=\frac{5\cdot6}{7}=\frac{30}{7}cm\\DB=\frac{5\cdot8}{7}=\frac{40}{7}cm\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(DC=\frac{30}{7}cm\); \(DB=\frac{40}{7}cm\)

b) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

nên \(S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{8\cdot6}{2}=24cm^2\)(1)

Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên \(S_{ABC}=\frac{AH\cdot BC}{2}=\frac{AH\cdot10}{2}=5\cdot AH\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(5\cdot AH=24\)

hay AH=4,8cm

\(\Rightarrow AH^2=23,04cm^2\)(3)

Áp dụng định lí pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AB^2=BH^2+AH^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=AB^2-AH^2=8^2-4,8^2=40,96\)

hay \(BH=\sqrt{40,96}=6,4cm\)

Xét ΔHEA và ΔBHA có

\(\widehat{HEA}=\widehat{BHA}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔHEA∼ΔBHA(g-g)

⇒\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}\)

hay \(\frac{AE}{4.8}=\frac{4.8}{8}\)

⇔\(AE=\frac{4.8\cdot4.8}{8}=2,88cm\)

⇔\(AE\cdot AB=2,88\cdot8=23,04cm\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AE\cdot AB=AH^2\left(=23,04\right)\)

c) Ta có: BH+HC=BC(H nằm giữa B và C)

hay HC=BC-BH=10-6,4=3,6cm

Ta có: ΔAHC vuông tại H(gt)

nên \(S_{AHC}=\frac{AH\cdot HC}{2}=\frac{4,8\cdot3,6}{2}=8,64cm^2\)(6)

Xét ΔAHC có HF là đường cao ứng với cạnh AC(gt)\

nên \(S_{AHC}=\frac{HF\cdot AC}{2}=\frac{HF\cdot6}{2}=3\cdot HF\)(7)

Từ (6) và (7) suy ra \(3\cdot HF=8,64\)

hay HF=2,88cm

Áp dụng định lí pytago vào ΔAHF vuông tại F, ta được:

\(AH^2=AF^2+HF^2\)

\(\Leftrightarrow AF^2=AH^2-HF^2=4,8^2-2,88^2=14,7456\)

hay \(AF=\sqrt{14,7456}=3,84cm\)

⇒\(AC\cdot AF=3,84\cdot6=23,04cm\)(5)

Từ (4) và (5) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)(đpcm)

d) Ta có: BE+AE=BA(E nằm giữa A và B)

hay BE=AB-AE=8-2,88=5,12cm

Vậy: BE=5,12cm