Question

[Ngọc Lan Đinh]

với a=2,b=6

tính pt sai phân

\(\text{x(n+2)-3x(n+1)+2x(n)=abcos}\frac{n\pi}{2}+\left(b+1\right)sin\frac{n\pi}{2}\)

tính pt vi phân: \(\left(x^2-\left(a+1\right)y^2\right)dx+\left(b+1\right)xydy=0\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 2:

\(\left(x^2-3y^2\right)dx+7xydy=0\)

- Với \(x=0\) là 1 nghiệm của pt đã cho

- Với \(x\ne0\)

\(\Leftrightarrow dy+\frac{1}{7}\left(\frac{x^2-3y^2}{xy}\right)dx=0\)

\(\Leftrightarrow dy+\frac{1}{7}\left(\frac{x}{y}-\frac{3y}{x}\right)dx=0\)

Đặt \(u=\frac{y}{x}\Rightarrow y=ux\Rightarrow dy=u.dx+x.du\)

\(\Leftrightarrow u.dx+x.du+\frac{1}{7}\left(\frac{1}{u}-3u\right)dx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{4u^2+1}{7u}\right)dx=-x.du\)

\(\Leftrightarrow\frac{7u.du}{4u^2+1}+\frac{dx}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{8}.\frac{d\left(4u^2+1\right)}{4u^2+1}+\frac{dx}{x}=0\)

Lấy tích phân 2 vế:

\(\Rightarrow\frac{7}{8}\int\frac{d\left(4u^2+1\right)}{4u^2+1}+\int\frac{dx}{x}=C\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{8}ln\left(4u^2+1\right)+ln\left|x\right|=C\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{8}ln\left(\frac{4y^2}{x^2}+1\right)+ln\left|x\right|=C\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

1.

\(x_{n+2}-3x_{n+1}+2x_n=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)

Xét pt thuần nhất: \(x_{n+2}-3x_{n+1}+2x_n=0\)

Pt đặc trưng: \(\lambda^2-3\lambda+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\lambda=1\\\lambda=2\end{matrix}\right.\)

Nghiệm của pt thuần nhất: \(\overline{x_n}=c_1+c_2.2^n\)

- Nghiệm riêng \(x_n^0\)

Do Pt đặc trưng cho nghiệm thực và các hệ số của lượng giác là hằng số bậc 0 nên nghiệm riêng có dạng: \(x_n^0=p.cos\frac{n\pi}{2}+q.sin\frac{n\pi}{2}\) với p;q là các số thực

Thay vào pt:

\(p.cos\frac{\left(n+2\right)\pi}{2}+q.sin\frac{\left(n+2\right)\pi}{2}-3pcos\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}-3q.sin\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}+2p.cos\frac{n\pi}{2}+2q.sin\frac{n\pi}{2}=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)

\(\Leftrightarrow-p.cos\frac{n\pi}{2}-q.sin\frac{n\pi}{2}+3p.sin\frac{n\pi}{2}-3qcos\frac{n\pi}{2}+2p.cos\frac{n\pi}{2}+2q.sin\frac{n\pi}{2}=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(p-3q\right)cos\frac{n\pi}{2}+\left(q+3p\right)\frac{n\pi}{2}=12cos\frac{n\pi}{2}+7sin\frac{n\pi}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}p-3q=12\\3p+q=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=\frac{33}{10}\\q=-\frac{29}{10}\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm riêng có dạng:

\(x_n^0=\frac{33}{10}.cos\frac{n\pi}{2}-\frac{29}{10}.sin\frac{n\pi}{2}\)

Nghiệm tổng quát: \(x_n=c_1+c_2.2^n+\frac{33}{10}.cos\frac{n\pi}{2}-\frac{29}{10}.sin\frac{n\pi}{2}\)