Question

[Phương Anh Đỗ]

Cho hình chóp đều SABCD đầy hình vuông cạnh a, O là giao của AC và BD

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (SBD)

b) Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 60° . Tính SO

c) Xác định góc giữa mặt bên và đáy

d) Tính d( O, (SCD)), d(A,(SCD))

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left\{{}\begin{matrix}SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp AC\\AC\perp BD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AC\perp\left(SBD\right)\)

Mà \(AC\in\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)\)

Do \(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow OC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCO}\) là góc giữa cạnh bên và đáy \(\Rightarrow\widehat{SCO}=60^0\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow SO=OC.tan60^0=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Gọi M là trung điểm CD \(\Rightarrow OM\perp CD\Rightarrow CD\perp\left(SOM\right)\Rightarrow\widehat{SMO}\) là góc giữa mặt bên và đáy

\(OM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\Rightarrow tan\widehat{SMO}=\frac{SO}{OM}=\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow\widehat{SMO}\approx67^047'\)

Từ O kẻ \(OH\perp SM\Rightarrow OH\perp\left(SCD\right)\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)

\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OM^2}\Rightarrow OH=\frac{SO.OM}{\sqrt{SO^2+OM^2}}=\frac{a\sqrt{42}}{14}\)

\(AC=2OC\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{42}}{7}\)