Tính các góc của Δ ABC biết \(\left(1+\frac{1}{sinA}\right).\left(1+\frac{1}{sinB}\right).\left(1+\frac{1}{sinC}\right)=\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{sinAsinBsinC}}\right)^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 6 2019
Lời giải:
Thay dấu "=" thành $\geq $ ta được BĐT Holder. Dấu "=" xác định tại $\sin A=\sin B=\sin C$ hay tam giác $ABC$ đều.
Chứng minh cụ thể như sau:
\(\frac{1}{1+\frac{1}{\sin A}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sin B}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sin C}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})}}\)
\(\frac{\frac{1}{\sin A}}{1+\frac{1}{\sin A}}+\frac{\frac{1}{\sin B}}{1+\frac{1}{\sin B}}+\frac{\frac{1}{\sin C}}{1+\frac{1}{\sin C}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{\sin A\sin B\sin C}}{(1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})}}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow 3\geq 3\frac{1+\sqrt[3]{\frac{1}{\sin A\sin B\sin C}}}{\sqrt[3]{(1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})}}\)
\(\Rightarrow (1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})\geq (1+\sqrt[3]{\frac{1}{\sin A\sin B\sin C}})^3\)
Dấu "=" xảy ra (như đề bài) khi \(\sin A=\sin B=\sin C\Rightarrow \angle A=\angle B=\angle C=60^0\)
6 tháng 11 2016
Ta có từ n3 + 1 đến (n + 1)3 - 1 có
(n + 1)3 - 1 - n3 - 1 + 1 = 3n2 + 3n số có phần nguyên bằng n
Áp dụng vào cái ban đầu ta có
\(=\frac{3.1^2+3.1}{1}+\frac{3.2^2+3.2}{2}+...+\frac{3.2011^2+3.2011}{2011}\)
= 3.1 + 3 + 3.2 + 3 + ...+ 3.2011 + 3
= 3.2011 + 3(1 + 2 +...+ 2011)
= 6075231
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2019
\(2sinB.sinC=1+cosA\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)-cos\left(B+C\right)=1+cosA\)
\(\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)+cosA=1+cosA\)
\(\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)=1\)
\(\Rightarrow B-C=0\Rightarrow B=C\)
\(sinA=\frac{cosA+cosB}{sinB+sinC}=\frac{cosA+cosB}{2sinB}\) (do \(B=C\))
\(\Leftrightarrow2sinA.sinB=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)-cos\left(A+B\right)=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)+cosC=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)+cosB=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)=cosB\)
\(\Rightarrow A-B=B\Rightarrow A=2B=B+C\)
Mà \(A+B+C=180^0\Rightarrow2A=180^0\Rightarrow A=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A
20 tháng 11 2016
a/ Ta có
\(K^4+\frac{1}{4}=K^4+K^2+\frac{1}{4}-K^2=\left(K^2+\frac{1}{2}\right)^2-K^2=\left(K^2+K+\frac{1}{2}\right)\left(K^2-K+\frac{1}{2}\right)\)
Ta lại có
\(K^2+K+\frac{1}{2}=\left(K+1\right)^2-\left(K+1\right)+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow K^4+\frac{1}{4}=\left(K^2-K+\frac{1}{2}\right)\left(\left(K+1\right)^2-\left(K+1\right)+\frac{1}{2}\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(=\frac{101^2-101+0,5}{1^2-1+0,5}=20201\)\(1S=\frac{\left(2^2-2+0,5\right)\left(3^2-3+0,5\right)\left(4^2-4+0,5\right)\left(5^2-5+0,5\right)...\left(100^2-100+0,5\right)\left(101^2-101+0,5\right)}{\left(1^2-1+0,5\right)\left(2^2-2+0,5\right)\left(3^2-3+0,5\right)\left(4^2-4+0,5\right)...\left(99^2-99+0,5\right)\left(100^2-100+0,5\right)}\)
20 tháng 11 2016
b/
\(\frac{3\left(x+y\right)}{3\sqrt{x\left(4x+5y\right)}+3\sqrt{y\left(4y+5x\right)}}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y\right)}{\frac{9x+4x+5y}{2}+\frac{9y+4y+5x}{2}}\)
\(=\frac{1}{3}\)
Dấu = xảy ra khi x = y
22 tháng 2 2022
Đặt \(abc=k^3\), khi đó tồn tại các số thực dương x,y,z sao cho:
\(a=\frac{ky}{x};b=\frac{kz}{y};c=\frac{kx}{z}\)
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\frac{1}{\frac{ky}{x}\left(\frac{kz}{y}+1\right)}+\frac{1}{\frac{kz}{y}\left(\frac{kx}{z}+1\right)}+\frac{1}{\frac{kx}{z}\left(\frac{ky}{x}+1\right)}\ge\frac{3}{k\left(k+1\right)}\)
Hay \(\frac{x}{y+kz}+\frac{y}{z+kx}+\frac{z}{x+ky}\ge\frac{3}{k+1}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
\(\frac{x}{y+kz}+\frac{y}{z+kx}+\frac{z}{x+ky}\)
\(=\frac{x^2}{x\left(y+kz\right)}+\frac{y^2}{y\left(z+kx\right)}+\frac{z^2}{z\left(x+ky\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\left(y+kz\right)+y\left(z+kx\right)+z\left(x+ky\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(k+1\right)\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{k+1}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
26 tháng 2 2017
Đặt \(A=\left(11-\sqrt{103}\right)\left(11-\sqrt{109}\right)\left(11-\sqrt{113}\right)....\left(11-\sqrt{104}\right)\)
\(=\left(11-\sqrt{103}\right)\left(11-\sqrt{109}\right)....\left(11-\sqrt{121}\right)....\left(11-\sqrt{104}\right)\)
\(=\left(11-\sqrt{103}\right)\left(11-\sqrt{109}\right)....\left(11-11\right)....\left(11-\sqrt{104}\right)\)
\(=0\)
Do đó biểu thức trên đầu bài bằng 0
Đặt \(\left(\frac{1}{sinA};\frac{1}{sinB};\frac{1}{sinC}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a;b;c>0\), áp dụng BĐT AM-GM
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Cộng vế với vế và rút gọn: \(1\ge\frac{1+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{sinA}\right)\left(1+\frac{1}{sinB}\right)\left(1+\frac{1}{sinC}\right)\ge\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{sinA.sinB.sinC}}\right)^3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{sinA}=\frac{1}{sinB}=\frac{1}{sinC}\Leftrightarrow\)
\(A=B=C=60^0\)