Cho (O) đường kính BC=2R , dựng tiếp tuyến Cx với (O) . Trên Cx lấy điểm M , đường thẳng MB cắt (O) tại giao điểm thứ hai là D . Dựng đường kính DE của (O) , đường kính ME cắt (O) tại giao điểm thứ hai là K , BK cắt MC tại L .Gọi I là giao điểm của BL,DC . Chứng minh : a) M,O,I thẳng hàng b) Tìm vị trí điểm M trên tiếp tuyến Cx để diện tích tam giác IBC lớn nhất
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét (O) có
\(\widehat{BDC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
BC là nửa đường tròn(BC là đường kính)
Do đó: \(\widehat{BDC}=90^0\)(Hệ quả)
Xét ΔBDC có \(\widehat{BDC}=90^0\)(cmt)
nên ΔBDC vuông tại D(Định nghĩa tam giác vuông)
⇒CD⊥BD tại D
hay CD⊥BM tại D
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBCM vuông tại C có CD là đường cao ứng với cạnh huyền BM, ta được:
\(MC^2=MB\cdot MD\)(đpcm)
1) \(\Delta AOC\)cân tại O có OD là đường cao nên cũng là phân giác của \(\widehat{AOC}\), do đó \(\widehat{AOD}=\widehat{COD}\Rightarrow\widebat{AD}=\widebat{DM}\)
nên DA = DM. Vậy tam giác AMD cân tại D (đpcm)
2) Dễ thấy \(\Delta OEA=\Delta OEC\left(c-g-c\right)\), từ đó suy ra được \(\widehat{OAE}=\widehat{OCE}=90^0\)
Do đó \(AE\perp AB\). Vậy AE là tiếp tuyến chung của \(\left(O\right)\)và \(\left(O'\right)\)
3) Giả sử AM cắt \(\left(O\right)\)tại \(N'\). Ta có \(\Delta OAN'\)cân tại O và \(OM\perp AN'\)nên OM là đường trung trực của AN'. Từ đó ta được CA = CN'
Ta có \(\widehat{CN'A}=\widehat{CAM}\) mà \(\widehat{CAM}=\widehat{DOM}\), do đó \(\widehat{CN'H}=\widehat{COH}\). Suy ra bốn điểm C, N', O, H thuộc một đường tròn. Suy ra N' thuộc đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CHO\). Do vậy \(N'\equiv N\)
Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng (đpcm)
4) Vì ME song song với AB và \(AB\perp AE\)nên \(ME\perp AE\)
Ta có hai tam giác MAO, EMA đồng dạng nên \(\frac{MO}{EA}=\frac{MA}{EM}=\frac{AO}{MA}\Rightarrow MA^2=AO.EM\)
Dễ thấy \(\Delta MEO\) cân tại M nên ME MO. = Thay vào hệ thức trên ta được\(MA^2=AO.MO\)
Đặt MO = x > 0 \(\Rightarrow MA^2=OA^2-MO^2=a^2-x^2\)
Từ \(MA^2=AO.MO\) suy ra \(a^2-x^2=ax\Leftrightarrow x^2+ax-a^2=0\)
Từ đó tìm được \(x=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)a}{2}\)
Vậy \(OM=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)a}{2}\)
a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
a, Vì \(\widehat{BAC}=90^0\) (góc nt chắn nửa đg tròn) nên tg ABC vuông tại A