Cho ΔABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Kẻ MD vuông gócvới BC tại D.a) Chứng minh ΔABM = ΔDBMb) Tia DM cắt tia BA tại E. Chứng minh rằng AC = DEc) Chứng minh ΔAME = ΔDMCd) Chứng minh BM vuông góc với ADe) Kẻ AK vuông góc với ED tại K và DH vuông góc với AC tại H. Chứng minhΔAEK = ΔDCHf) Tia AK và DH cắt nhau tại N. Chứng minh MN là tia phân giác của góc KMHg) Chứng minh B, M, N thẳng hàngh) Δ...
Đọc tiếp
Cho ΔABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Kẻ MD vuông góc
với BC tại D.
a) Chứng minh ΔABM = ΔDBM
b) Tia DM cắt tia BA tại E. Chứng minh rằng AC = DE
c) Chứng minh ΔAME = ΔDMC
d) Chứng minh BM vuông góc với AD
e) Kẻ AK vuông góc với ED tại K và DH vuông góc với AC tại H. Chứng minh
ΔAEK = ΔDCH
f) Tia AK và DH cắt nhau tại N. Chứng minh MN là tia phân giác của góc KMH
g) Chứng minh B, M, N thẳng hàng
h) Δ ABC thỏa mãn điều kiện gì để ΔADN là tam giác đều.
a, Xét △ABM vuông tại A và △DBM vuông tại D
Có: BM là cạnh chung
∠ABM = ∠DBM (gt)
=> △ABM = △DBM (ch-gn)
b, Xét △ABC vuông tại A và △DBE vuông tại D
Có: AB = DB (△ABM = △DBM)
∠ABC là góc chung
=> △ABC = △DBE (cgv-gnk)
=> AC = DE (2 cạnh tương ứng)
c, Xét △AME vuông tại A và △DMC vuông tại D
Có: AM = MD (△ABM = △DBM)
∠AME = ∠DMC (2 góc đối đỉnh)
=> △AME = △DMC (cgv-gnk)
d, Vì AB = BD (cmt) => B thuộc đường trung trực của AD
Vì AM = DM (cmt) => M thuộc đường trung trực của AD
=> BM là đường trung trực của AD
=> BM ⊥ AD
e, Xét △DHC vuông tại K và △AKE vuông tại H
Có: DC = AE (△DMC = △AME)
∠DCH = ∠AEK (△ABC = △DBE)
=> △DHC = AKE (ch-gn)
f, Xét △AMK vuông tại K và △DMH vuông tại H
Có: AM = MD (cmt)
∠AMK = ∠DMH (2 góc đối đỉnh)
=> △AMK = △DMH (ch-gn)
=> MK = MH (2 cạnh tương ứng)
Xét △MKN vuông tại K và △MHN vuông tại H
Có: MK = MH (cmt)
MN là cạnh chung
=> △MKN = △MHN (ch-cgv)
=> ∠KMN = ∠HMN (2 góc tương ứng)
=> MN là phân giác KMH
g, Ta có: AK + KN = AN và DH + HN = DN
Mà AK = DH (△AMK = △DMH) ; KN = HN (△MKN = △MHN)
=> AN = DN
Xét △BAN và △BDN
Có: AB = BD (cmt)
AN = DN (cmt)
BN là cạnh chung
=> △BAN = △BDN (c.c.c)
=> ∠ABN = ∠DBN (2 góc tương ứng)
=> BN là phân giác ABD
Mà BM là phân giác ABD
=> BN ≡ BM
=> 3 điểm B, M, N thẳng hàng
h, Để △ADN là tam giác đều mà AN = DN (cmt)
<=> ∠AND = 60o <=> ∠ANM + ∠MND = 60o
Mà ∠ANM = ∠MND (△BAN = △BDN)
<=> ∠ANM = ∠MND = 30o
Vì AB ⊥ AC (gt) và DH ⊥ AC (gt) => DN ⊥ AC
=> AB // DN
=> ∠ABN = ∠BND (2 góc so le trong) và ∠ANB = ∠NBD (2 góc so le trong)
Mà ∠ANB = ∠BND = 30o (cmt)
=> ∠ABN = ∠NBD = 30o
=> ∠ABN + ∠NBD = 30o + 30o
=> ∠ABD = 60o
=> ∠ABC = 60o
Vậy để △ADN là tam giác đều khi △ABC có ∠ABC = 60o