Cho đa thức \(f\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-4\). Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị đa thức f(x) chia hết cho giá trị của đa thức \(x^2+2\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
\(x^3-3x^2+2=x(x^2+ax+b)-(a+3)(x^2+ax+b)+(a^2+3a-b)x+b(a+3)+2\)
Để $f(x)$ chia hết cho $x^2+ax+b$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} a^2+3a-b=0\\ b(a+3)+2=0\end{matrix}\right.\)
Với $a,b$ nguyên ta dễ dàng tìm được $a=b=-2$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
và đây là cách phân tích duy nhất mà các hệ số của nhân tử đều nguyên.
Do đó f(x) cho hết khi chia hết
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-2x-2\right)\) và đây là cách phân tích duy nhất mà các hệ số của nhân tử đều nguyên
Do đó f(x) cho hết \(x^2+ax+b\) khi \(x^2-2x-2\) chia hết \(x^2+ax+b\)
\(\Rightarrow a=b=-2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(f\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x^2+2\right)=\left(x-3\right)\left(x^2+2\right)+x+2\)
Để \(f\left(x\right)⋮x^2+2\Leftrightarrow x+2⋮x^2+2\)
Đặt \(\frac{x+2}{x^2+2}=k\in Z\)
\(k+1=\frac{x^2+x+4}{x^2+2}=\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{2}}{x^2+2}>0\Rightarrow k>-1\)
\(k-1=\frac{-x^2}{x^2+2}\le0\Rightarrow k\le1\)
Mà \(k\in Z\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=0\\k=1\end{matrix}\right.\)
- Với \(k=0\Rightarrow\frac{x+2}{x^2+2}=0\Rightarrow x=-2\)
- Với \(k=1\Rightarrow\frac{x+2}{x^2+2}=1\Leftrightarrow x^2=x\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)