Question

[Sophie Hoang]

Cho tam giác ABC cân tại A trên tia đối của tia BC lấy D, trên tia đối của tia CB lấy E, sao cho BD=CE.

a) Chứng minh tam giác ADE cân.

b) Nếu cho thêm góc BAC = 60 độ và BD=CE=BC. Tính các góc của tam giác AD

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của \(\Delta\)ABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)ACE có

AB=AC(\(\Delta\)ABC cân tại A)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(cmt)

DB=CE(gt)

Do đó: \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)ACE(c-g-c)

\(\Rightarrow\)AD=AE(hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\)ADE có AD=AE(cmt)

nên \(\Delta\)ADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

b) Xét \(\Delta\)ABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=60^0\)(gt)

nên \(\Delta\)ABC đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^0\) và AB=BC=AC(số đo của các góc và các cạnh trong \(\Delta\)ABC đều)

mà BD=CE=BC

nên BD=AB=AC=BC=CE

Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}=180^0\)

hay \(\widehat{ABD}=180^0-\widehat{ABC}=180^0-60^0=120^0\)

Xét \(\Delta\)ABD có AB=BD(cmt)

nên \(\Delta\)ABD cân tại B(định nghĩa tam giác cân)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\frac{180^0-\widehat{ABD}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong \(\Delta\)ABD cân tại B)

hay \(\widehat{ADB}=\frac{180^0-120^0}{2}=30^0\)

hay \(\widehat{ADE}=30^0\)

Ta có: \(\Delta\)ADE cân tại A(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)(hai góc ở đáy)

mà \(\widehat{ADE}=30^0\)(cmt)

nên \(\widehat{AED}=30^0\)

Ta có: \(\Delta\)ADE cân tại A(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=180^0-2\cdot\widehat{ADE}\)(số đo của góc ở đỉnh trong \(\Delta\)ADE cân tại A)

hay \(\widehat{DAE}=180^0-2\cdot30^0=120^0\)

Vậy: Khi \(\widehat{BAC}=60^0\) và BD=CE=BC thì số đo các góc của \(\Delta\)ADE lần lượt là:

\(\widehat{ADE}=30^0\); \(\widehat{AED}=30^0\); \(\widehat{DAE}=120^0\)