Question

[Dương Văn Chiến]

Cho tam giác ABC phân giác AD . Trên nửa mặt phẳng không chứa A bờ BC , vẽ tia  Cx sao cho BCX = 12 BAC. Cx cắt AD tại E ; I là trung điểm DE . Chứng minh rằng :

a) \(\Delta\)ABD đồng dạng với \(\Delta\)CED

b)AE² > AB . AC

c) 4AB . AC = 4AI² - DE²

d) Trung trực của BC đi qua E 

Mong giúp đỡ!

Answer 1

[Dương Văn Chiến]

Mik ghi nhầm BCX=1/2 BAC nha

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

a) Xét \(\Delta\)ABD và  \(\Delta\)CED có:

^BAD = ^ECD ( = 1/2 ^BCx ) 

^ADB = ^CDE ( đối đỉnh) 

=> \(\Delta\)ABD ~ \(\Delta\)CED ( g-g)

b) Xét \(\Delta\)EAC và \(\Delta\)ECD có:

^EAC = ^ECD ( = 1/2 ^BCx ) 

^AEC = ^CED ( ^E chung )

=> \(\Delta\)EAC ~ \(\Delta\)ECD ( g-g)

=> \(\frac{AE}{AC}=\frac{EC}{CD}\)(1)

Mặt khác từ (a) => \(\frac{AB}{AD}=\frac{EC}{CD}\)(2)

Từ (1) ; (2) => \(\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}\)=> AB. AC = AE.AD < AE. AE  (3)

=> AB. AC < \(AE^2\)

c) Từ (3) ta có: AB. AC = AE.AD  

Ta lại có: \(4AI^2-DE^2=\left(2AI-DE\right)\left(2AI+DE\right)\)

Vì I là trung điểm DE nên DI = IE = 1/2 DE => DE = 2 DI = 2IE

+) 2AI - DE = 2 ( AD + DI ) - 2 DI  = 2AD + 2 DI - 2 DI = 2 AD

+) 2AI + DE = 2 ( AD + DI ) + DE = 2 AD + 2 DI + DE = 2 AD  + DE + DE = 2 AD + 2 DE = 2 ( AD + DE ) = 2 AE 

=> \(4AI^2-DE^2=2AD.2DE=4AD.DE=4AB.AC\)

Vậy...

d) Xét \(\Delta\)BDE và \(\Delta\)ADC có:

\(\frac{BD}{ED}=\frac{AD}{CD}\)( suy ra từ (a) )

^BDE = ^ADC ( đối đỉnh)

=> \(\Delta\)BDE ~ \(\Delta\)ADC ( g-c)

=> ^EBD = ^CAD = DCE 

=> \(\Delta\)BEC cân 

=> EB = EC 

=> Trung trực BC qua E